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Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física III ⇒ (SOIF 2016) Eletromagnetismo Tópico resolvido
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παθμ
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Fev 2024
22
22:57
(SOIF 2016) Eletromagnetismo
Um anel fino e condutor de cobre de raio [tex3]a,[/tex3]
condutividade [tex3]\sigma[/tex3]
e densidade [tex3]\rho,[/tex3]
gira sobre um eixo perpendicular ao campo magnético uniforme [tex3]B.[/tex3]
Sua frequência inicial de rotação é [tex3]\omega_0.[/tex3]
Calcule o tempo em que a sua frequência decai de [tex3]\frac{1}{e}[/tex3]
do seu valor original considerando que a potência média dissipada por efeito Joule é a variação da energia cinética do anel. Desconsidere qualquer outro tipo de energia que possa ser envolvida.
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παθμ
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Fev 2024
22
23:04
Re: (SOIF 2016) Eletromagnetismo
Solução:
Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre o campo magnético e uma linha perpendicular ao plano do anel, o fluxo através dele é [tex3]\phi = \pi B a^2 \cos(\theta) \Longrightarrow \left|\frac{d\phi}{dt}\right|=\pi B a^2 \sin(\theta) \dot{\theta}=\pi B a^2 \sin(\theta) \omega = \epsilon = Ri,[/tex3] onde [tex3]R[/tex3] é a resistência do anel.
Então a corrente que circula pelo anel é [tex3]i=\frac{\pi B a^2 \sin(\theta) \omega}{R},[/tex3] e a potência dissipada por efeito Joule é [tex3]P=Ri^2=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \sin^2(\theta) \omega^2}{R}.[/tex3]
Se considerarmos que o anel gira muito rápido em comparação ao tempo de decaimento de [tex3]\omega,[/tex3] podemos utilizar a potência média [tex3]\langle P \rangle=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \omega^2}{2R}[/tex3] nos cálculos, lembrando que [tex3]\langle \sin^2(\theta) \rangle = \frac{1}{2}.[/tex3]
Ademais, sendo [tex3]J[/tex3] o momento de inércia do anel em relação ao eixo de rotação, temos, pelo teorema dos eixos perpendiculares, [tex3]J+J=ma^2 \Longrightarrow J=\frac{ma^2}{2},[/tex3] onde [tex3]m[/tex3] é a massa do anel.
A energia cinética é [tex3]E=\frac{J \omega^2}{2}=\frac{ma^2 \omega^2}{4} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=\frac{ma^2}{2}\omega \frac{d \omega}{dt}.[/tex3]
[tex3]\frac{dE}{dt}=- \langle P \rangle \Longrightarrow \frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}dt,[/tex3] onde foi usado [tex3]m=2\pi a A \rho[/tex3] e [tex3]R=\frac{2\pi a}{\sigma A},[/tex3] sendo [tex3]A[/tex3] a área da seção transversal do anel.
Por fim, [tex3]\int_{\omega_0}^{\omega}\frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \omega(t)=\omega_0 \exp\left(-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}t\right).[/tex3]
Então o tempo para o qual [tex3]\omega=\frac{\omega_0}{e}[/tex3] é [tex3]\boxed{\tau=\frac{4\rho}{B^2 \sigma}}[/tex3]
Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre o campo magnético e uma linha perpendicular ao plano do anel, o fluxo através dele é [tex3]\phi = \pi B a^2 \cos(\theta) \Longrightarrow \left|\frac{d\phi}{dt}\right|=\pi B a^2 \sin(\theta) \dot{\theta}=\pi B a^2 \sin(\theta) \omega = \epsilon = Ri,[/tex3] onde [tex3]R[/tex3] é a resistência do anel.
Então a corrente que circula pelo anel é [tex3]i=\frac{\pi B a^2 \sin(\theta) \omega}{R},[/tex3] e a potência dissipada por efeito Joule é [tex3]P=Ri^2=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \sin^2(\theta) \omega^2}{R}.[/tex3]
Se considerarmos que o anel gira muito rápido em comparação ao tempo de decaimento de [tex3]\omega,[/tex3] podemos utilizar a potência média [tex3]\langle P \rangle=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \omega^2}{2R}[/tex3] nos cálculos, lembrando que [tex3]\langle \sin^2(\theta) \rangle = \frac{1}{2}.[/tex3]
Ademais, sendo [tex3]J[/tex3] o momento de inércia do anel em relação ao eixo de rotação, temos, pelo teorema dos eixos perpendiculares, [tex3]J+J=ma^2 \Longrightarrow J=\frac{ma^2}{2},[/tex3] onde [tex3]m[/tex3] é a massa do anel.
A energia cinética é [tex3]E=\frac{J \omega^2}{2}=\frac{ma^2 \omega^2}{4} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=\frac{ma^2}{2}\omega \frac{d \omega}{dt}.[/tex3]
[tex3]\frac{dE}{dt}=- \langle P \rangle \Longrightarrow \frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}dt,[/tex3] onde foi usado [tex3]m=2\pi a A \rho[/tex3] e [tex3]R=\frac{2\pi a}{\sigma A},[/tex3] sendo [tex3]A[/tex3] a área da seção transversal do anel.
Por fim, [tex3]\int_{\omega_0}^{\omega}\frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \omega(t)=\omega_0 \exp\left(-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}t\right).[/tex3]
Então o tempo para o qual [tex3]\omega=\frac{\omega_0}{e}[/tex3] é [tex3]\boxed{\tau=\frac{4\rho}{B^2 \sigma}}[/tex3]
Última edição: παθμ (22 Fev 2024, 23:05). Total de 1 vez.
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