Física III

Mensagem não lida por **παθμ** » 22 Fev 2024, 22:57

Um anel fino e condutor de cobre de raio [tex3]a,[/tex3] condutividade [tex3]\sigma[/tex3] e densidade [tex3]\rho,[/tex3] gira sobre um eixo perpendicular ao campo magnético uniforme [tex3]B.[/tex3] Sua frequência inicial de rotação é [tex3]\omega_0.[/tex3] Calcule o tempo em que a sua frequência decai de [tex3]\frac{1}{e}[/tex3] do seu valor original considerando que a potência média dissipada por efeito Joule é a variação da energia cinética do anel. Desconsidere qualquer outro tipo de energia que possa ser envolvida.

: 4b52e40c-2fc2-43dc-a40f-6d0752b8532a.jpg (8.73 KiB) Exibido 258 vezes

Mensagem não lida por **παθμ** » 22 Fev 2024, 23:04

Solução:

Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre o campo magnético e uma linha perpendicular ao plano do anel, o fluxo através dele é [tex3]\phi = \pi B a^2 \cos(\theta) \Longrightarrow \left|\frac{d\phi}{dt}\right|=\pi B a^2 \sin(\theta) \dot{\theta}=\pi B a^2 \sin(\theta) \omega = \epsilon = Ri,[/tex3] onde [tex3]R[/tex3] é a resistência do anel.

Então a corrente que circula pelo anel é [tex3]i=\frac{\pi B a^2 \sin(\theta) \omega}{R},[/tex3] e a potência dissipada por efeito Joule é [tex3]P=Ri^2=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \sin^2(\theta) \omega^2}{R}.[/tex3]

Se considerarmos que o anel gira muito rápido em comparação ao tempo de decaimento de [tex3]\omega,[/tex3] podemos utilizar a potência média [tex3]\langle P \rangle=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \omega^2}{2R}[/tex3] nos cálculos, lembrando que [tex3]\langle \sin^2(\theta) \rangle = \frac{1}{2}.[/tex3]

Ademais, sendo [tex3]J[/tex3] o momento de inércia do anel em relação ao eixo de rotação, temos, pelo teorema dos eixos perpendiculares, [tex3]J+J=ma^2 \Longrightarrow J=\frac{ma^2}{2},[/tex3] onde [tex3]m[/tex3] é a massa do anel.

A energia cinética é [tex3]E=\frac{J \omega^2}{2}=\frac{ma^2 \omega^2}{4} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=\frac{ma^2}{2}\omega \frac{d \omega}{dt}.[/tex3]

[tex3]\frac{dE}{dt}=- \langle P \rangle \Longrightarrow \frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}dt,[/tex3] onde foi usado [tex3]m=2\pi a A \rho[/tex3] e [tex3]R=\frac{2\pi a}{\sigma A},[/tex3] sendo [tex3]A[/tex3] a área da seção transversal do anel.

Por fim, [tex3]\int_{\omega_0}^{\omega}\frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \omega(t)=\omega_0 \exp\left(-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}t\right).[/tex3]

Então o tempo para o qual [tex3]\omega=\frac{\omega_0}{e}[/tex3] é [tex3]\boxed{\tau=\frac{4\rho}{B^2 \sigma}}[/tex3]

Física III ⇒ (SOIF 2016) Eletromagnetismo Tópico resolvido

(SOIF 2016) Eletromagnetismo

Re: (SOIF 2016) Eletromagnetismo

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Crie uma nova conta

Entrar