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Física III ⇒ (SOIF 2016) Eletromagnetismo Tópico resolvido
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παθμ
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Fev 2024
22
22:57
(SOIF 2016) Eletromagnetismo
Um anel fino e condutor de cobre de raio [tex3]a,[/tex3]
condutividade [tex3]\sigma[/tex3]
e densidade [tex3]\rho,[/tex3]
gira sobre um eixo perpendicular ao campo magnético uniforme [tex3]B.[/tex3]
Sua frequência inicial de rotação é [tex3]\omega_0.[/tex3]
Calcule o tempo em que a sua frequência decai de [tex3]\frac{1}{e}[/tex3]
do seu valor original considerando que a potência média dissipada por efeito Joule é a variação da energia cinética do anel. Desconsidere qualquer outro tipo de energia que possa ser envolvida.
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παθμ
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Fev 2024
22
23:04
Re: (SOIF 2016) Eletromagnetismo
Solução:
Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre o campo magnético e uma linha perpendicular ao plano do anel, o fluxo através dele é [tex3]\phi = \pi B a^2 \cos(\theta) \Longrightarrow \left|\frac{d\phi}{dt}\right|=\pi B a^2 \sin(\theta) \dot{\theta}=\pi B a^2 \sin(\theta) \omega = \epsilon = Ri,[/tex3] onde [tex3]R[/tex3] é a resistência do anel.
Então a corrente que circula pelo anel é [tex3]i=\frac{\pi B a^2 \sin(\theta) \omega}{R},[/tex3] e a potência dissipada por efeito Joule é [tex3]P=Ri^2=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \sin^2(\theta) \omega^2}{R}.[/tex3]
Se considerarmos que o anel gira muito rápido em comparação ao tempo de decaimento de [tex3]\omega,[/tex3] podemos utilizar a potência média [tex3]\langle P \rangle=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \omega^2}{2R}[/tex3] nos cálculos, lembrando que [tex3]\langle \sin^2(\theta) \rangle = \frac{1}{2}.[/tex3]
Ademais, sendo [tex3]J[/tex3] o momento de inércia do anel em relação ao eixo de rotação, temos, pelo teorema dos eixos perpendiculares, [tex3]J+J=ma^2 \Longrightarrow J=\frac{ma^2}{2},[/tex3] onde [tex3]m[/tex3] é a massa do anel.
A energia cinética é [tex3]E=\frac{J \omega^2}{2}=\frac{ma^2 \omega^2}{4} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=\frac{ma^2}{2}\omega \frac{d \omega}{dt}.[/tex3]
[tex3]\frac{dE}{dt}=- \langle P \rangle \Longrightarrow \frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}dt,[/tex3] onde foi usado [tex3]m=2\pi a A \rho[/tex3] e [tex3]R=\frac{2\pi a}{\sigma A},[/tex3] sendo [tex3]A[/tex3] a área da seção transversal do anel.
Por fim, [tex3]\int_{\omega_0}^{\omega}\frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \omega(t)=\omega_0 \exp\left(-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}t\right).[/tex3]
Então o tempo para o qual [tex3]\omega=\frac{\omega_0}{e}[/tex3] é [tex3]\boxed{\tau=\frac{4\rho}{B^2 \sigma}}[/tex3]
Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre o campo magnético e uma linha perpendicular ao plano do anel, o fluxo através dele é [tex3]\phi = \pi B a^2 \cos(\theta) \Longrightarrow \left|\frac{d\phi}{dt}\right|=\pi B a^2 \sin(\theta) \dot{\theta}=\pi B a^2 \sin(\theta) \omega = \epsilon = Ri,[/tex3] onde [tex3]R[/tex3] é a resistência do anel.
Então a corrente que circula pelo anel é [tex3]i=\frac{\pi B a^2 \sin(\theta) \omega}{R},[/tex3] e a potência dissipada por efeito Joule é [tex3]P=Ri^2=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \sin^2(\theta) \omega^2}{R}.[/tex3]
Se considerarmos que o anel gira muito rápido em comparação ao tempo de decaimento de [tex3]\omega,[/tex3] podemos utilizar a potência média [tex3]\langle P \rangle=\frac{\pi^2 B^2 a^4 \omega^2}{2R}[/tex3] nos cálculos, lembrando que [tex3]\langle \sin^2(\theta) \rangle = \frac{1}{2}.[/tex3]
Ademais, sendo [tex3]J[/tex3] o momento de inércia do anel em relação ao eixo de rotação, temos, pelo teorema dos eixos perpendiculares, [tex3]J+J=ma^2 \Longrightarrow J=\frac{ma^2}{2},[/tex3] onde [tex3]m[/tex3] é a massa do anel.
A energia cinética é [tex3]E=\frac{J \omega^2}{2}=\frac{ma^2 \omega^2}{4} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=\frac{ma^2}{2}\omega \frac{d \omega}{dt}.[/tex3]
[tex3]\frac{dE}{dt}=- \langle P \rangle \Longrightarrow \frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}dt,[/tex3] onde foi usado [tex3]m=2\pi a A \rho[/tex3] e [tex3]R=\frac{2\pi a}{\sigma A},[/tex3] sendo [tex3]A[/tex3] a área da seção transversal do anel.
Por fim, [tex3]\int_{\omega_0}^{\omega}\frac{d \omega}{\omega}=-\frac{B^2 \sigma}{4\rho} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \omega(t)=\omega_0 \exp\left(-\frac{B^2 \sigma}{4\rho}t\right).[/tex3]
Então o tempo para o qual [tex3]\omega=\frac{\omega_0}{e}[/tex3] é [tex3]\boxed{\tau=\frac{4\rho}{B^2 \sigma}}[/tex3]
Última edição: παθμ (22 Fev 2024, 23:05). Total de 1 vez.
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