Um dos mecanismos de transferência de calor é a radiação na forma de ondas eletromagnéticas denominado radiação de corpo negro. Um corpo irradia uma energia térmica proporcional a área do corpo e a sua temperatura absoluta elevada a quarta, definida por lei de Stefan-Boltzmann. A fração da densidade de energia radiante de comprimento de onda [tex3]\lambda[/tex3]
é denominada função de distribuição espectral [tex3]f(\lambda,T)[/tex3]
e que na forma clássica é representada pela lei de Rayleigh-Jeans:
[tex3]f(\lambda, T)=8\pi k T \lambda^{-4}[/tex3]
Onde, [tex3]k[/tex3]
é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta e [tex3]\lambda[/tex3]
é o comprimento de onda em metros.
Grande problema desta equação é quando se aproxima de comprimento de ondas muito baixas, conhecido como catástrofe de ultravioleta. O problema foi resolvido por um físico alemão, Max Planck que propôs a seguinte equação conhecida como lei de Planck utilizado posteriormente pelo Einstein para definir a quantização da energia.
[tex3]f(\lambda, T)=\frac{8 \pi h c \lambda^{-5}}{e^{hc/\lambda k T}-1}[/tex3]
Onde [tex3]h[/tex3]
é uma constante, [tex3]c[/tex3]
a velocidade da luz.
a) Mostre que para uma aproximação clássica as equações de Rayleigh-Jeans e de Planck são idênticas.
b) Mostre que na lei de Planck a catástrofre de ultravioleta é contornada.
c) Mostre que na equação da lei de Planck existe um máximo em relação ao comprimento de onda, e que nesta condição o [tex3]\lambda_{\text{maximo}}[/tex3]
é proporcional ao inverso da temperatura, definida como lei de deslocamento do Wien.
d) O ser humano é capaz de enxergar comprimentos de onda de aproximadamente [tex3]400 \; \text{nm}[/tex3]
a [tex3]700 \; \text{nm},[/tex3]
faça um esboço das curvas de distribuição espectral de um corpo negro versus comprimento de onda para três temperaturas diferentes, onde [tex3]T_1>T_2>T_3 \sim 1000 \; \text{K}, [/tex3]
e mostrando na curva a região de luz visível para seres humanos.
Física III ⇒ (SOIF 2016) Radiação de corpo negro Tópico resolvido
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Fev 2024
21
23:29
Re: (SOIF 2016) Radiação de corpo negro
a) No regime clássico, que corresponde a um comprimento de onda alto, temos [tex3]\frac{hc}{\lambda k T} \ll 1,[/tex3]
daí [tex3]e^{hc/\lambda k T} \approx 1+\frac{hc}{\lambda k T}[/tex3]
e a distribuição de Planck fica [tex3]f(\lambda, T)=\frac{8\pi h c \lambda^{-5}}{hc/\lambda k T}=8 \pi k T \lambda ^{-4},[/tex3]
igual à de Rayleigh-Jeans.
b) No regime [tex3]\lambda \rightarrow 0,[/tex3] temos [tex3]e^{hc/\lambda kT} \gg 1,[/tex3] daí [tex3]f(\lambda, T) \approx \frac{8\pi h c}{\lambda^5 e^{hc/\lambda k T}}.[/tex3]
O termo exponencial tende a infinito, enquanto [tex3]\lambda^5[/tex3] tende a zero. Porém, termos exponenciais "ganham" de termos polinomiais, por isso o limite de [tex3]\lambda^5 e^{hc/\lambda k T}[/tex3] quando [tex3]\lambda[/tex3] tende a zero é [tex3]\infty,[/tex3] então [tex3]f(\lambda , T) \rightarrow 0.[/tex3] Isso mostra que [tex3]f[/tex3] não diverge para [tex3]\lambda \rightarrow 0,[/tex3] então a catástrofe de ultravioleta é contornada.
c) O comprimento de onda no qual há o máximo de emissão é aquele para o qual [tex3]\frac{df}{d\lambda}=0.[/tex3] Pela regra da cadeia, isso ocorre quando [tex3]\frac{d}{d\lambda}\left(\lambda^5(e^{x/\lambda}-1)\right)=0,[/tex3] onde [tex3]x \equiv \frac{hc}{kT}.[/tex3]
Daí, obtemos [tex3]5\lambda(e^{x/\lambda}-1)-xe^{x/\lambda}=0,[/tex3] e dividindo os dois lados da equação por [tex3]x[/tex3] e definindo [tex3]y \equiv \lambda/x:[/tex3]
[tex3]5y\left(1-e^{-1/y}\right)=1.[/tex3]
Essa é uma equação transcendental, cuja solução, determinada numericamente, é [tex3]y.[/tex3]
Feito isso, temos [tex3]y=\frac{\lambda_M}{x} \Longrightarrow \lambda_M = \frac{y h c}{kT} \Longrightarrow \boxed{\lambda_M \propto \frac{1}{T}}[/tex3]
A constante [tex3]b =\frac{yhc}{k} \approx 0,0029 \; \text{m.K}[/tex3] é a constante de deslocamento de Wien.
d) O importante é mostrar que as curvas começam crescendo, depois alcançam seu pico e tendem a zero assintoticamente. O pico de [tex3]T_3[/tex3] ocorre em [tex3]\lambda_3 =\frac{b}{1000} \approx 2900 \; \text{nm}. [/tex3] Também deve-se mostrar que, quanto maior a temperatura, mais "larga" e "baixa" é a curva.
b) No regime [tex3]\lambda \rightarrow 0,[/tex3] temos [tex3]e^{hc/\lambda kT} \gg 1,[/tex3] daí [tex3]f(\lambda, T) \approx \frac{8\pi h c}{\lambda^5 e^{hc/\lambda k T}}.[/tex3]
O termo exponencial tende a infinito, enquanto [tex3]\lambda^5[/tex3] tende a zero. Porém, termos exponenciais "ganham" de termos polinomiais, por isso o limite de [tex3]\lambda^5 e^{hc/\lambda k T}[/tex3] quando [tex3]\lambda[/tex3] tende a zero é [tex3]\infty,[/tex3] então [tex3]f(\lambda , T) \rightarrow 0.[/tex3] Isso mostra que [tex3]f[/tex3] não diverge para [tex3]\lambda \rightarrow 0,[/tex3] então a catástrofe de ultravioleta é contornada.
c) O comprimento de onda no qual há o máximo de emissão é aquele para o qual [tex3]\frac{df}{d\lambda}=0.[/tex3] Pela regra da cadeia, isso ocorre quando [tex3]\frac{d}{d\lambda}\left(\lambda^5(e^{x/\lambda}-1)\right)=0,[/tex3] onde [tex3]x \equiv \frac{hc}{kT}.[/tex3]
Daí, obtemos [tex3]5\lambda(e^{x/\lambda}-1)-xe^{x/\lambda}=0,[/tex3] e dividindo os dois lados da equação por [tex3]x[/tex3] e definindo [tex3]y \equiv \lambda/x:[/tex3]
[tex3]5y\left(1-e^{-1/y}\right)=1.[/tex3]
Essa é uma equação transcendental, cuja solução, determinada numericamente, é [tex3]y.[/tex3]
Feito isso, temos [tex3]y=\frac{\lambda_M}{x} \Longrightarrow \lambda_M = \frac{y h c}{kT} \Longrightarrow \boxed{\lambda_M \propto \frac{1}{T}}[/tex3]
A constante [tex3]b =\frac{yhc}{k} \approx 0,0029 \; \text{m.K}[/tex3] é a constante de deslocamento de Wien.
d) O importante é mostrar que as curvas começam crescendo, depois alcançam seu pico e tendem a zero assintoticamente. O pico de [tex3]T_3[/tex3] ocorre em [tex3]\lambda_3 =\frac{b}{1000} \approx 2900 \; \text{nm}. [/tex3] Também deve-se mostrar que, quanto maior a temperatura, mais "larga" e "baixa" é a curva.
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