Uma barra condutora de cobre desliza sem atrito apoiada em dois trilhos condutores paralelos no eixo Y, no plano XY, na presença de um campo magnético constante [tex3]\vec{B}=B_0 \; \hat{z}.[/tex3]
Considerando que no instante [tex3]t=0[/tex3]
a barra está se movendo na direção +y com velocidade [tex3]v_0[/tex3]
pergunta se:
a) Qual é a velocidade subsequente, considerando a resistividade [tex3]\rho_R[/tex3]
e densidade de massa [tex3]\rho_m[/tex3]
da barra.
b) Considerando que para o cobre [tex3]\rho_R=1,7 \cdot 10^{-8} \; \text{Ω.m}[/tex3]
e [tex3]\rho_m=8,9 \; \text{g/cm}^3,[/tex3]
e que [tex3]B_0=0,01 \; \text{T},[/tex3]
estime o tempo que a barra demora até parar.
c) Mostre que a variação temporal de energia cinética por unidade de volume é igual ao aquecimento ôhmico por unidade de volume da barra.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física III ⇒ (SOIF 2016) Eletromagnetismo Tópico resolvido
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Fev 2024
21
22:08
Re: (SOIF 2016) Eletromagnetismo
Solução:
a) A ddp na barra é [tex3]\epsilon = B_0 v l,[/tex3] onde [tex3]l[/tex3] é seu comprimento. A corrente é [tex3]I=\frac{B_0 v l}{R},[/tex3] e a força na barra é [tex3]F=B_0 Il =\frac{B_0^2 L^2}{R}v,[/tex3] que é oposta à velocidade independentemente do sentido do campo magnético.
Segunda lei de Newton: [tex3]m \frac{dv}{dt}=-\frac{B_0^2 l^2}{R}v.[/tex3]
Como [tex3]R=\frac{\rho_R l}{A}[/tex3] e [tex3]m=\rho _m Al:[/tex3]
[tex3]\rho_m \frac{dv}{dt}=-\frac{B_0^2}{\rho_R}v \Longrightarrow \int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{v}=-\frac{B_0^2}{\rho_m \rho_R} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \boxed{v(t)=v_0\exp\left(-\frac{B_0^2 t}{\rho_m \rho_R}\right)}[/tex3]
b) Temos [tex3]v=v_0e^{-t/\tau},[/tex3] onde [tex3]\tau=\frac{\rho_m \rho_R}{B_0^2} \approx 1,5 \; \text{s}.[/tex3]
Considerando que o movimento da barra se torna inperceptível para [tex3]v \approx \frac{v_0}{10},[/tex3] podemos estimar [tex3]t \approx \tau \ln(10)
\approx \boxed{3,5 \; \text{s}}[/tex3]
c) [tex3]E=\frac{mv^2}{2} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=mv\frac{dv}{dt}=\rho_m l Av \frac{B_0^2}{\rho_m \rho_R}v \Longrightarrow \frac{1}{V} \frac{dE}{dt}=\frac{B_0^2 v^2}{\rho_R},[/tex3] onde V é o volume da barra e dv/dt foi inserido em módulo.
Ademais, [tex3]\frac{dQ}{dt}=RI^2=\frac{\rho_R l}{A} \frac{B_0^2 v^2 l^2}{R^2}=B_0^2 v^2 l \frac{A}{\rho_R} \Longrightarrow \frac{1}{V} \frac{dQ}{dt}=\frac{B_0^2 v^2}{\rho_R}=\frac{1}{V} \frac{dE}{dt},[/tex3] como queríamos mostrar.
a) A ddp na barra é [tex3]\epsilon = B_0 v l,[/tex3] onde [tex3]l[/tex3] é seu comprimento. A corrente é [tex3]I=\frac{B_0 v l}{R},[/tex3] e a força na barra é [tex3]F=B_0 Il =\frac{B_0^2 L^2}{R}v,[/tex3] que é oposta à velocidade independentemente do sentido do campo magnético.
Segunda lei de Newton: [tex3]m \frac{dv}{dt}=-\frac{B_0^2 l^2}{R}v.[/tex3]
Como [tex3]R=\frac{\rho_R l}{A}[/tex3] e [tex3]m=\rho _m Al:[/tex3]
[tex3]\rho_m \frac{dv}{dt}=-\frac{B_0^2}{\rho_R}v \Longrightarrow \int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{v}=-\frac{B_0^2}{\rho_m \rho_R} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \boxed{v(t)=v_0\exp\left(-\frac{B_0^2 t}{\rho_m \rho_R}\right)}[/tex3]
b) Temos [tex3]v=v_0e^{-t/\tau},[/tex3] onde [tex3]\tau=\frac{\rho_m \rho_R}{B_0^2} \approx 1,5 \; \text{s}.[/tex3]
Considerando que o movimento da barra se torna inperceptível para [tex3]v \approx \frac{v_0}{10},[/tex3] podemos estimar [tex3]t \approx \tau \ln(10)
\approx \boxed{3,5 \; \text{s}}[/tex3]
c) [tex3]E=\frac{mv^2}{2} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=mv\frac{dv}{dt}=\rho_m l Av \frac{B_0^2}{\rho_m \rho_R}v \Longrightarrow \frac{1}{V} \frac{dE}{dt}=\frac{B_0^2 v^2}{\rho_R},[/tex3] onde V é o volume da barra e dv/dt foi inserido em módulo.
Ademais, [tex3]\frac{dQ}{dt}=RI^2=\frac{\rho_R l}{A} \frac{B_0^2 v^2 l^2}{R^2}=B_0^2 v^2 l \frac{A}{\rho_R} \Longrightarrow \frac{1}{V} \frac{dQ}{dt}=\frac{B_0^2 v^2}{\rho_R}=\frac{1}{V} \frac{dE}{dt},[/tex3] como queríamos mostrar.
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