Física III ⇒ Energia partículas Tópico resolvido

[padeli675]

Dois pósitrons e dois prótons ocupam os vértices de um quadrado de lado a. Ignorando as interações gravitacionais e os efeitos relativísticos, determine as velocidades das partículas quando elas se encontram a uma distância muito grande umas das outras. Observação: Considere, na sua solução, que a massa de um elétron (ou pósitron) é muito menor que a massa de um próton (me << mp). Adote K0 como a constante eletrostática do meio. Explique detalhadamente seu raciocínio.

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[παθμ]

padeli675,

Encontrar uma solução exata para as velocidades no infinito é bastante complicado. Mas, usando o fato de que [tex3]m_e \ll m_p,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_e \ll m_p,[/tex3]

podemos fazer uma aproximação que consiste em separar processos rápidos de processos lentos.

Devido à aproximação, sabemos que os pósitrons se afastarão a uma grande distância muito antes dos prótons poderem se deslocar de uma distância considerável. Por isso, para calcular a velocidade dos pósitrons no infinito, podemos considerar os prótons como estáticos.

Daí, a energia potencial inicial fica: [tex3]U=\frac{2k_0e^2}{a}+\frac{2k_0 e^2}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]U=\frac{2k_0e^2}{a}+\frac{2k_0 e^2}{a}[/tex3]

(energias de interação entre os pósitrons e os prótons) [tex3]+\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a}[/tex3]

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[tex3]+\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a}[/tex3]

(energia de interação entre os dois pósitrons)

Então [tex3]U=k_0e^2\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right).[/tex3]

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[tex3]U=k_0e^2\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right).[/tex3]

Como no infinito a energia potencial é zero: [tex3]m_ev^2=U \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{m_e}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right)}}[/tex3]

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[tex3]m_ev^2=U \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{m_e}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right)}}[/tex3]

Aí agora basta considerar a interação entre os prótons. A energia potencial inicial é [tex3]\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a},[/tex3]

e no infinito ela é zero.

[tex3]m_pv^2=\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a} \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}am_p}}}[/tex3]

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[tex3]m_pv^2=\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a} \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}am_p}}}[/tex3]

[padeli675]

padeli675,

Encontrar uma solução exata para as velocidades no infinito é bastante complicado. Mas, usando o fato de que [tex3]m_e \ll m_p,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_e \ll m_p,[/tex3]

podemos fazer uma aproximação que consiste em separar processos rápidos de processos lentos.

Devido à aproximação, sabemos que os pósitrons se afastarão a uma grande distância muito antes dos prótons poderem se deslocar de uma distância considerável. Por isso, para calcular a velocidade dos pósitrons no infinito, podemos considerar os prótons como estáticos.

Daí, a energia potencial inicial fica: [tex3]U=\frac{2k_0e^2}{a}+\frac{2k_0 e^2}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]U=\frac{2k_0e^2}{a}+\frac{2k_0 e^2}{a}[/tex3]

(energias de interação entre os pósitrons e os prótons) [tex3]+\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a}[/tex3]

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[tex3]+\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a}[/tex3]

(energia de interação entre os dois pósitrons)

Então [tex3]U=k_0e^2\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right).[/tex3]

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[tex3]U=k_0e^2\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right).[/tex3]

Como no infinito a energia potencial é zero: [tex3]m_ev^2=U \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{m_e}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right)}}[/tex3]

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[tex3]m_ev^2=U \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{m_e}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right)}}[/tex3]

Aí agora basta considerar a interação entre os prótons. A energia potencial inicial é [tex3]\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a},[/tex3]

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[tex3]\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a},[/tex3]

e no infinito ela é zero.

[tex3]m_pv^2=\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a} \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}am_p}}}[/tex3]

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[tex3]m_pv^2=\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}a} \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{k_0e^2}{\sqrt{2}am_p}}}[/tex3]

Oi, muito obrigada, top demais!!!