Física III ⇒ Magnetismo(lei de Ampère e lei de Biot-Savart) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Um cilindro muito longo de raio "a" está carregado com densidade volumétrica de carga "p" e gira com velocidade angular ω em torno do seu eixo. Determine a intensidade do campo magnético "B" para um ponto a uma distância "r" do eixo do cilindro com:
a) 0 < r < a;
b) r ≥ a.

Resposta

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Não consegui achar o gabarito

[παθμ]

Considere uma casca cilíndrica infinita de espessura infinitesimal, que se compreende entre [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

e [tex3]r+dr[/tex3]

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[tex3]r+dr[/tex3]

.

Note que a carga por unidade de comprimento nesse casca cilíndrica infinita é [tex3]d\lambda=\rho dA=2\pi \rho rdr[/tex3]

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[tex3]d\lambda=\rho dA=2\pi \rho rdr[/tex3]

.

Logo, a corrente por unidade de comprimento é [tex3]di=\frac{d\lambda}{T}=\frac{d\lambda}{2\pi/\omega}=\omega \rho r dr[/tex3]

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[tex3]di=\frac{d\lambda}{T}=\frac{d\lambda}{2\pi/\omega}=\omega \rho r dr[/tex3]

.

Então, a corrente total por unidade de comprimento compreendida em uma região [tex3]r\leq r'\leq a[/tex3]

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[tex3]r\leq r'\leq a[/tex3]

é [tex3]i=\int\limits_{r}^{a}\omega \rho r'dr'=\frac{\omega \rho (a^2-r^2)}{2}[/tex3]

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[tex3]i=\int\limits_{r}^{a}\omega \rho r'dr'=\frac{\omega \rho (a^2-r^2)}{2}[/tex3]

.

Considere uma amperiana que consiste em um retângulo infinitamente grande. Um dos lados do retângulo é paralelo ao cilindro, a uma distância [tex3]r< a[/tex3]

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[tex3]r< a[/tex3]

do seu eixo. Dois lados são perpendiculares ao eixo, e o outro lado que é paralelo ao eixo está infinitamente longe do cilindro (no infinito). Seja [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

o comprimento do lado do retângulo que está é paralelo ao eixo do cilindro.

A corrente total que atravessa esse retângulo é [tex3]il[/tex3]

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[tex3]il[/tex3]

.

Além disso, o campo magnético é sempre paralelo ao eixo do cilindro, pela simetria.

E o campo magnético no infinito é, obviamente, nulo.

Então, pela lei de Ampère: [tex3]\mu_0il=B(r)l\rightarrow B(r)=\mu_0i[/tex3]

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[tex3]\mu_0il=B(r)l\rightarrow B(r)=\mu_0i[/tex3]

Resposta do item a): [tex3]B(r)=\frac{\mu_0 \omega \rho (a^2-r^2)}{2}[/tex3]

Para calcular o campo em regiões fora do cilindro, podemos usar a exata mesma abordagem. Se [tex3]r\geq a[/tex3]

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[tex3]r\geq a[/tex3]

, não há corrente alguma atravessando o retângulo. Portanto, pela lei de Ampère, [tex3]B(r)=0[/tex3] (item b)