f) a distância total percorrida pela bola desde o instante inicial até parar.
Resposta
80 m
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Prof. Caju
Física III ⇒ Quantidade de movimento e queda livre Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2022
21
07:40
Quantidade de movimento e queda livre
Uma bola é solta a partir de uma altura igual a 48 m sobre uma superfície horizontal lisa. A bola se choca contra a superfície com um coeficiente de restituição igual a 0,5. Supondo a inexistência de qualquer atrito, determine:
f) a distância total percorrida pela bola desde o instante inicial até parar.
80 m
f) a distância total percorrida pela bola desde o instante inicial até parar.
80 m
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joaopcarv
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Fev 2022
21
19:23
Re: Quantidade de movimento e queda livre
Como a bola se choca com uma superfície lisa (ou seja, que não exerce força tangencial), tem-se a troca de momento do objeto para o objeto, já que a superfície, por ter massa supostamente muito maior, fica essencialmente parada. Ou seja, tendo o coeficiente de constituição [tex3]\mathsf{e}[/tex3]
, esse valor dirá respeito às velocidades da bola imediatamente antes e depois do choque:
[tex3]\mathsf{e \ = \ \dfrac{v_{depois}}{v_{antes}}}[/tex3]
Dado que [tex3]\mathsf{e \ = \ 0,5:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{v_{depois} \ = \ v_{antes} \cdot 0,5}[/tex3] , o que significa que a bola perde parte de sua energia cinética a cada choque, e isso acarreta em perda de altura que a bola alcança após cada choque com a superfície.
A bola inicialmente desce [tex3]\mathsf{h_0 \ = \ 48 \ m}[/tex3] partindo do repouso. Ao final dessa altura, ao chegar ao chão, a bola possui velocidade [tex3]\mathsf{v_{0} \ = \ \sqrt{2 \cdot g \cdot h_0}}[/tex3] (da conservação de energia na queda).
Após o primeiro choque, a bola volta a subir do chão com velocidade [tex3]\mathsf{v_{1} \ = \ 0,5 \cdot v_0}[/tex3] , e, novamente, da conservação de energia, ela sobe até a altura de [tex3]\mathsf{h_1 \ = \ \dfrac{v_1^2}{2\cdot g}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{h_1 \ = \ \dfrac{\bigg({\frac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h_0}}{2}\bigg)}^2}{2\cdot g} \ \therefore \ h_1 \ = \ \dfrac{h_0}{4}}[/tex3] .
A bola então desce [tex3]\mathsf{\dfrac{h_0}{4}}[/tex3] (conservando energia), perde energia cinética com o que, e sobe e desce de novo, agora uma altura de [tex3]\mathsf{h_2 \ = \ \dfrac{h_1}{4} \ = \ \dfrac{h_0}{16}}[/tex3] . E assim por diante, mas perceba que, devido à perda de energia com o choque, a bola sobe cada vez menos, até uma hora efetivamente parar no chão.
A distância [tex3]\mathsf{d}[/tex3] percorrida então são os [tex3]\mathsf{h_0 \ = \ 48 \ m}[/tex3] da primeira queda acrescidos dos movimentos subida-descida de [tex3]\mathsf{h_1, \ h_2, \ h_3, \ ...,\ etc}[/tex3] . Contando subida e descida, temos então:
[tex3]\mathsf{d \ = \ h_0 \ + \ 2\cdot (h_1 \ + \ h_2 \ + \ h_3 \ + \ ...)}[/tex3]
A sequência [tex3]\mathsf{h_1, \ h_2, \ h_3, ...}[/tex3] , por sua vez, é uma progressão geométrica infinita e decrescente, ou seja, que converge. Seu primeiro termo é [tex3]\mathsf{h1 \ = \ \dfrac{48}{4} \ = \ 12 \ m}[/tex3] e sua razão é [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{1}{4}}[/tex3] , logo, a soma infinita é:
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ \dfrac{h_1}{1 \ - \ r}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ \dfrac{12}{1 \ - \ \frac{1}{4}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ 16 \ m.}[/tex3]
Por fim:
[tex3]\mathsf{d \ = \ 48 \ + \ 2\cdot \underbrace{(h_1 \ + \ h_2 \ + \ h_3 \ + \ ...)}_{= \ 16 \ m}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{d \ = \ 48 \ + \ 32}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{d \ = \ 80 \ m}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{e \ = \ \dfrac{v_{depois}}{v_{antes}}}[/tex3]
Dado que [tex3]\mathsf{e \ = \ 0,5:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{v_{depois} \ = \ v_{antes} \cdot 0,5}[/tex3] , o que significa que a bola perde parte de sua energia cinética a cada choque, e isso acarreta em perda de altura que a bola alcança após cada choque com a superfície.
A bola inicialmente desce [tex3]\mathsf{h_0 \ = \ 48 \ m}[/tex3] partindo do repouso. Ao final dessa altura, ao chegar ao chão, a bola possui velocidade [tex3]\mathsf{v_{0} \ = \ \sqrt{2 \cdot g \cdot h_0}}[/tex3] (da conservação de energia na queda).
Após o primeiro choque, a bola volta a subir do chão com velocidade [tex3]\mathsf{v_{1} \ = \ 0,5 \cdot v_0}[/tex3] , e, novamente, da conservação de energia, ela sobe até a altura de [tex3]\mathsf{h_1 \ = \ \dfrac{v_1^2}{2\cdot g}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{h_1 \ = \ \dfrac{\bigg({\frac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h_0}}{2}\bigg)}^2}{2\cdot g} \ \therefore \ h_1 \ = \ \dfrac{h_0}{4}}[/tex3] .
A bola então desce [tex3]\mathsf{\dfrac{h_0}{4}}[/tex3] (conservando energia), perde energia cinética com o que, e sobe e desce de novo, agora uma altura de [tex3]\mathsf{h_2 \ = \ \dfrac{h_1}{4} \ = \ \dfrac{h_0}{16}}[/tex3] . E assim por diante, mas perceba que, devido à perda de energia com o choque, a bola sobe cada vez menos, até uma hora efetivamente parar no chão.
A distância [tex3]\mathsf{d}[/tex3] percorrida então são os [tex3]\mathsf{h_0 \ = \ 48 \ m}[/tex3] da primeira queda acrescidos dos movimentos subida-descida de [tex3]\mathsf{h_1, \ h_2, \ h_3, \ ...,\ etc}[/tex3] . Contando subida e descida, temos então:
[tex3]\mathsf{d \ = \ h_0 \ + \ 2\cdot (h_1 \ + \ h_2 \ + \ h_3 \ + \ ...)}[/tex3]
A sequência [tex3]\mathsf{h_1, \ h_2, \ h_3, ...}[/tex3] , por sua vez, é uma progressão geométrica infinita e decrescente, ou seja, que converge. Seu primeiro termo é [tex3]\mathsf{h1 \ = \ \dfrac{48}{4} \ = \ 12 \ m}[/tex3] e sua razão é [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{1}{4}}[/tex3] , logo, a soma infinita é:
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ \dfrac{h_1}{1 \ - \ r}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ \dfrac{12}{1 \ - \ \frac{1}{4}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ 16 \ m.}[/tex3]
Por fim:
[tex3]\mathsf{d \ = \ 48 \ + \ 2\cdot \underbrace{(h_1 \ + \ h_2 \ + \ h_3 \ + \ ...)}_{= \ 16 \ m}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{d \ = \ 48 \ + \ 32}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{d \ = \ 80 \ m}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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Poli-USP
Fev 2022
21
19:55
Re: Quantidade de movimento e queda livre
joaopcarv escreveu: ↑21 Fev 2022, 19:23 Como a bola se choca com uma superfície lisa (ou seja, que não exerce força tangencial), tem-se a troca de momento do objeto para o objeto, já que a superfície, por ter massa supostamente muito maior, fica essencialmente parada. Ou seja, tendo o coeficiente de constituição [tex3]\mathsf{e}[/tex3] , esse valor dirá respeito às velocidades da bola imediatamente antes e depois do choque:
[tex3]\mathsf{e \ = \ \dfrac{v_{depois}}{v_{antes}}}[/tex3]
Dado que [tex3]\mathsf{e \ = \ 0,5:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{v_{depois} \ = \ v_{antes} \cdot 0,5}[/tex3] , o que significa que a bola perde parte de sua energia cinética a cada choque, e isso acarreta em perda de altura que a bola alcança após cada choque com a superfície.
A bola inicialmente desce [tex3]\mathsf{h_0 \ = \ 48 \ m}[/tex3] partindo do repouso. Ao final dessa altura, ao chegar ao chão, a bola possui velocidade [tex3]\mathsf{v_{0} \ = \ \sqrt{2 \cdot g \cdot h_0}}[/tex3] (da conservação de energia na queda).
Após o primeiro choque, a bola volta a subir do chão com velocidade [tex3]\mathsf{v_{1} \ = \ 0,5 \cdot v_0}[/tex3] , e, novamente, da conservação de energia, ela sobe até a altura de [tex3]\mathsf{h_1 \ = \ \dfrac{v_1^2}{2\cdot g}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{h_1 \ = \ \dfrac{\bigg({\frac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h_0}}{2}\bigg)}^2}{2\cdot g} \ \therefore \ h_1 \ = \ \dfrac{h_0}{4}}[/tex3] .
A bola então desce [tex3]\mathsf{\dfrac{h_0}{4}}[/tex3] (conservando energia), perde energia cinética com o que, e sobe e desce de novo, agora uma altura de [tex3]\mathsf{h_2 \ = \ \dfrac{h_1}{4} \ = \ \dfrac{h_0}{16}}[/tex3] . E assim por diante, mas perceba que, devido à perda de energia com o choque, a bola sobe cada vez menos, até uma hora efetivamente parar no chão.
A distância [tex3]\mathsf{d}[/tex3] percorrida então são os [tex3]\mathsf{h_0 \ = \ 48 \ m}[/tex3] da primeira queda acrescidos dos movimentos subida-descida de [tex3]\mathsf{h_1, \ h_2, \ h_3, \ ...,\ etc}[/tex3] . Contando subida e descida, temos então:
[tex3]\mathsf{d \ = \ h_0 \ + \ 2\cdot (h_1 \ + \ h_2 \ + \ h_3 \ + \ ...)}[/tex3]
A sequência [tex3]\mathsf{h_1, \ h_2, \ h_3, ...}[/tex3] , por sua vez, é uma progressão geométrica infinita e decrescente, ou seja, que converge. Seu primeiro termo é [tex3]\mathsf{h1 \ = \ \dfrac{48}{4} \ = \ 12 \ m}[/tex3] e sua razão é [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{1}{4}}[/tex3] , logo, a soma infinita é:
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ \dfrac{h_1}{1 \ - \ r}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ \dfrac{12}{1 \ - \ \frac{1}{4}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{\infty} \ = \ 16 \ m.}[/tex3]
Por fim:
[tex3]\mathsf{d \ = \ 48 \ + \ 2\cdot \underbrace{(h_1 \ + \ h_2 \ + \ h_3 \ + \ ...)}_{= \ 16 \ m}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{d \ = \ 48 \ + \ 32}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{d \ = \ 80 \ m}}[/tex3]
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