Quatro elétrons estão em rotação em torno de um
próton formando um quadrado de lado R.
Determine os módulos das velocidades dos
elétrons em função de:
m ⟶ massa do elétron
- e ⟶ carga do elétron
e ⟶ carga do próton
k ⟶ constante eletrostática do meio
Física III ⇒ ELETROSTÁTICA Tópico resolvido
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16:46
Re: ELETROSTÁTICA
LorenzoIM3, vamos usar o seguinte esquema para a ilustração do que está sendo proposto (clique na imagem):
Os quatro elétrons, [tex3]\mathsf{e_a, e_b, e_c, e_d}[/tex3] estão em trajetória circular girando através do somatório de forças eletrostáticas presentes no arranjo. Note que o esquema é totalmente simétrico para todos os elétrons e que portanto podemos tomar um e analisar as forças que atuam sobre ele, replicando então o resultado aos demais. De imediato, o raio da trajetória circular dos elétrons é [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{R \cdot \sqrt{2}}{2}.}[/tex3]
Vamos então tomar o elétron [tex3]\mathsf{e_a}[/tex3] e analisar as forças eletrostáticas que atuam sobre ele. Os dois elétrons adjacentes, [tex3]\mathsf{e_b}[/tex3] e [tex3]\mathsf{e_d}[/tex3] , provocam forças de repulsão em [tex3]\mathsf{e_a}[/tex3] perpendiculares entre si [tex3]\mathsf{\bigg(\vec{F_{ba}}, \ \vec{F_{da}}\bigg)}[/tex3] tais que a soma delas é a força radial [tex3]\mathsf{\vec{F_s}}[/tex3] , no sentido para fora do centro da trajetória.
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{ba}}\Bigg| \ = \ \Bigg|\vec{F_{da}}\Bigg| \ = \dfrac{k \cdot e^2}{R^2};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{s}}\Bigg| \ = \ \sqrt{2} \cdot \Bigg|\vec{F_{da}}\Bigg| \ = \ \dfrac{\sqrt{2} \cdot k \cdot e^2}{R^2}.}[/tex3]
A força que o elétron oposto a [tex3]\mathsf{e_a \ (e_c)}[/tex3] faz também é de repulsão e também é radial, para fora do centro.
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{ca}}\Bigg| \ = \dfrac{k \cdot e^2}{(\sqrt{2} \cdot R)^2} \ = \ \dfrac{k \cdot e^2}{2 \cdot R^2}.}[/tex3]
Por fim, a força que o próton [tex3]\mathsf{p}[/tex3] faz em [tex3]\mathsf{e_a}[/tex3] é de atração, radial e para o centro da trajetória.
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{pa}}\Bigg| \ = \dfrac{k \cdot e^2}{\Big(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot R\Big)^2} \ = \ \dfrac{2 \cdot k \cdot e^2}{R^2}.}[/tex3]
O módulo da força centrípeta é, portanto:
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \Bigg|\vec{F_{pa}}\Bigg| \ - \ \Bigg|\vec{F_{ca}}\Bigg| \ - \ \Bigg|\vec{F_{s}}\Bigg|}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \dfrac{2 \cdot k \cdot e^2}{R^2} \ - \ \dfrac{k \cdot e^2}{2 \cdot R^2} \ - \ \dfrac{\sqrt{2} \cdot k \cdot e^2}{R^2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \dfrac{(3 - \ 2\cdot \sqrt{2}) \cdot k \cdot e^2}{2 \cdot R^2}}[/tex3]
Dado que [tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \dfrac{m \cdot v^2}{r}}[/tex3] , em que [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{R \cdot \sqrt{2}}{2}}[/tex3] é o raio da trajetória:
[tex3]\mathsf{v^2 \ = \ \dfrac{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \cdot r}{m}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{v^2 \ = \ \dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{(3 - \ 2\cdot \sqrt{2}) \cdot k \cdot e^2}{2 \cdot R^\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancel{R} \cdot \sqrt{2}}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{v \ = \ \sqrt{\dfrac{k \cdot e^2 \cdot (3\cdot \sqrt{2} \ - \ 4)}{4 \cdot m \cdot R}}}}}[/tex3]
Os quatro elétrons, [tex3]\mathsf{e_a, e_b, e_c, e_d}[/tex3] estão em trajetória circular girando através do somatório de forças eletrostáticas presentes no arranjo. Note que o esquema é totalmente simétrico para todos os elétrons e que portanto podemos tomar um e analisar as forças que atuam sobre ele, replicando então o resultado aos demais. De imediato, o raio da trajetória circular dos elétrons é [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{R \cdot \sqrt{2}}{2}.}[/tex3]
Vamos então tomar o elétron [tex3]\mathsf{e_a}[/tex3] e analisar as forças eletrostáticas que atuam sobre ele. Os dois elétrons adjacentes, [tex3]\mathsf{e_b}[/tex3] e [tex3]\mathsf{e_d}[/tex3] , provocam forças de repulsão em [tex3]\mathsf{e_a}[/tex3] perpendiculares entre si [tex3]\mathsf{\bigg(\vec{F_{ba}}, \ \vec{F_{da}}\bigg)}[/tex3] tais que a soma delas é a força radial [tex3]\mathsf{\vec{F_s}}[/tex3] , no sentido para fora do centro da trajetória.
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{ba}}\Bigg| \ = \ \Bigg|\vec{F_{da}}\Bigg| \ = \dfrac{k \cdot e^2}{R^2};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{s}}\Bigg| \ = \ \sqrt{2} \cdot \Bigg|\vec{F_{da}}\Bigg| \ = \ \dfrac{\sqrt{2} \cdot k \cdot e^2}{R^2}.}[/tex3]
A força que o elétron oposto a [tex3]\mathsf{e_a \ (e_c)}[/tex3] faz também é de repulsão e também é radial, para fora do centro.
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{ca}}\Bigg| \ = \dfrac{k \cdot e^2}{(\sqrt{2} \cdot R)^2} \ = \ \dfrac{k \cdot e^2}{2 \cdot R^2}.}[/tex3]
Por fim, a força que o próton [tex3]\mathsf{p}[/tex3] faz em [tex3]\mathsf{e_a}[/tex3] é de atração, radial e para o centro da trajetória.
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{pa}}\Bigg| \ = \dfrac{k \cdot e^2}{\Big(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot R\Big)^2} \ = \ \dfrac{2 \cdot k \cdot e^2}{R^2}.}[/tex3]
O módulo da força centrípeta é, portanto:
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \Bigg|\vec{F_{pa}}\Bigg| \ - \ \Bigg|\vec{F_{ca}}\Bigg| \ - \ \Bigg|\vec{F_{s}}\Bigg|}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \dfrac{2 \cdot k \cdot e^2}{R^2} \ - \ \dfrac{k \cdot e^2}{2 \cdot R^2} \ - \ \dfrac{\sqrt{2} \cdot k \cdot e^2}{R^2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \dfrac{(3 - \ 2\cdot \sqrt{2}) \cdot k \cdot e^2}{2 \cdot R^2}}[/tex3]
Dado que [tex3]\mathsf{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \ = \ \dfrac{m \cdot v^2}{r}}[/tex3] , em que [tex3]\mathsf{r \ = \ \dfrac{R \cdot \sqrt{2}}{2}}[/tex3] é o raio da trajetória:
[tex3]\mathsf{v^2 \ = \ \dfrac{\Bigg|\vec{F_{cen}}\Bigg| \cdot r}{m}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{v^2 \ = \ \dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{(3 - \ 2\cdot \sqrt{2}) \cdot k \cdot e^2}{2 \cdot R^\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancel{R} \cdot \sqrt{2}}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{v \ = \ \sqrt{\dfrac{k \cdot e^2 \cdot (3\cdot \sqrt{2} \ - \ 4)}{4 \cdot m \cdot R}}}}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Ter 11 Jan, 2022 17:11). Total de 2 vezes.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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