A figura mostra, em corte, dois condutores esféricos muito afastados, interligados por um fio condutor fino. O condutor afastado da esquerda está no centro de uma cavidade esférica condutora ligada à terra. Antes da esfera da esquerda ser colocada na cavidade, o conjunto das esferas estava a um potencial Vº. Determine a carga na superfície interna da cavidade, em função de R, r, Vº e εº(permissividade do meio).
Resposta: -[8πεºVºR(R+r)]/[R+2r]
Obrigado
Física III ⇒ Eletrostática
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2020
13
10:30
Re: Eletrostática
->Inicialmente temos que as esferas estão em equilíbrio. O que isso significa? Estão com o mesmo potencial elétrico, dado pelo texto como V0
-> Com isso descobrimos a carga inicial em cada esfera -> V0=[tex3]\frac{KQ}{R}[/tex3] => Q=[tex3]\frac{V_0R}{K}[/tex3] (i)
Vemos que a carga inicial das duas esferas são iguais, pois o potencial é o mesmo, logo Qi= 2Q = [tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3] (ii)
-> Colocando agora uma das esferas dentro da cavidade, os potenciais irão mudar, e as cargas em cada esfera também. Vamos chamar a carga da esfera na cavidade de Q1 e a que está fora de Q2, onde Qf = Q1 + Q2. Sabemos também que a esfera dentro da cavidade irar induzir uma carga -Q1 na casca esférica interna. Vamos calcular o potencial na superfície da esfera que esta dentro da cavidade.
->Esse potencial será dado pelo potencial da superfície esférica, da casca esférica interna e da casca esférica externa -> V1 = Ve + Vint + Vext mas ora, a casca esférica externa esta aterrada, logo seu potencial é 0, a equação fica
V1 = Ve + Vint => V1 = [tex3]\frac{KQ_1}{R} + \frac{K(-Q_1)}{R+r}[/tex3]
Resolvendo essa equação iremos achar V1 = [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)}[/tex3] (iii)
Precisamos de mais uma equação para podermos eliminar o V1, essa iremos tirar da esfera que não esta dentro da cavidade. Sabemos que elas continuam ligada pelo fio, Logo seus potenciais continuam o mesmo, então V1=V2 => [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3] (iv)
-> Conseguimos eliminar o V1 mas aparecemos com uma nova variável que é o Q2. Mas essa conseguimos eliminar com o principio da conservação de carga. Qf = Qi => Q1 + Q2 = 2Q (v)
Isolando Q2 em (iv) => [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3] => Q2 = [tex3]\frac{Q_1r}{R+r}[/tex3]
Achamos inicialmente em (ii) que 2Q = [tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3]
Substituindo em (v) ficamos
Q1 + [tex3]\frac{Q_1r}{R+r} = \frac{V_0R}{2K}[/tex3]
Basta isolar a equação agora que iremos achar
Q1 = [tex3]\frac{8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]
Mas não se esqueça que a carga induzida na casca interna é carga -Q1 logo temos que Qint = [tex3]\frac{-8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]
-> Com isso descobrimos a carga inicial em cada esfera -> V0=[tex3]\frac{KQ}{R}[/tex3] => Q=[tex3]\frac{V_0R}{K}[/tex3] (i)
Vemos que a carga inicial das duas esferas são iguais, pois o potencial é o mesmo, logo Qi= 2Q = [tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3] (ii)
-> Colocando agora uma das esferas dentro da cavidade, os potenciais irão mudar, e as cargas em cada esfera também. Vamos chamar a carga da esfera na cavidade de Q1 e a que está fora de Q2, onde Qf = Q1 + Q2. Sabemos também que a esfera dentro da cavidade irar induzir uma carga -Q1 na casca esférica interna. Vamos calcular o potencial na superfície da esfera que esta dentro da cavidade.
->Esse potencial será dado pelo potencial da superfície esférica, da casca esférica interna e da casca esférica externa -> V1 = Ve + Vint + Vext mas ora, a casca esférica externa esta aterrada, logo seu potencial é 0, a equação fica
V1 = Ve + Vint => V1 = [tex3]\frac{KQ_1}{R} + \frac{K(-Q_1)}{R+r}[/tex3]
Resolvendo essa equação iremos achar V1 = [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)}[/tex3] (iii)
Precisamos de mais uma equação para podermos eliminar o V1, essa iremos tirar da esfera que não esta dentro da cavidade. Sabemos que elas continuam ligada pelo fio, Logo seus potenciais continuam o mesmo, então V1=V2 => [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3] (iv)
-> Conseguimos eliminar o V1 mas aparecemos com uma nova variável que é o Q2. Mas essa conseguimos eliminar com o principio da conservação de carga. Qf = Qi => Q1 + Q2 = 2Q (v)
Isolando Q2 em (iv) => [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3] => Q2 = [tex3]\frac{Q_1r}{R+r}[/tex3]
Achamos inicialmente em (ii) que 2Q = [tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3]
Substituindo em (v) ficamos
Q1 + [tex3]\frac{Q_1r}{R+r} = \frac{V_0R}{2K}[/tex3]
Basta isolar a equação agora que iremos achar
Q1 = [tex3]\frac{8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]
Mas não se esqueça que a carga induzida na casca interna é carga -Q1 logo temos que Qint = [tex3]\frac{-8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]
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