ITA 1957 ⇒ (ITA-1957) Sistemas de Equações II Tópico resolvido

[Jigsaw]

2ª parte

5 – Se [tex3]abcd\neq0[/tex3], determine [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] no sistema de equações:
[tex3]ax + by = c[/tex3]
[tex3]px + qy = d[/tex3]
de modo que o sistema seja indeterminado.
6 – É possível encontrar uma equação do tipo [tex3]x^3+ax^2+bx-5=0[/tex3], de modo que duas raízes sejam da forma [tex3]p[/tex3] e [tex3]\frac{1}{q}[/tex3] ([tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] naturais, primos entre si) e a terceira raiz seja um número fracionário não inteiro?
No caso de o problema ser possível, quais os valores de [tex3]p[/tex3]?
7 – Resolver a equação (recíproca)
[tex3]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/tex3].
8 – Sabendo-se que [tex3]a_n=\frac{n!}{n^n}[/tex3], calcular [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex3]

Resposta

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5) Resposta: 1) [tex3]p=\frac{ad}{c}[/tex3]; 2) [tex3]q=\frac{b.d}{c}[/tex3].
6) Resposta: Possível para a e b racionais, não simultaneamente inteiros. Qualquer p tal que [tex3]p^3+ap^2+bp-5=0[/tex3].
7) Resposta: [tex3]3[/tex3]; [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]; [tex3]2[/tex3]; [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].
8 ) Resposta: [tex3]\frac{1}{e}[/tex3].
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os quatro itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[Auto Excluído (ID: 23699)]

5. Basta fazer os determinantes. Todos tem que ser igual a zero.

det da matriz dos coeficientes = aq - pb = 0

det da 1a matriz substituida = dq - bc = 0

det da 2a matriz substituida = ad - pc = 0

aq = pb
dq = bc
ad = pc
queremos encontrar p e q
dividindo as 2 primeiras
a/d = p/c
p = ac/d

dividindo a 1a e a 3a

q/d = b/c
q = bd/c


6.
briot-ruffini com p e 1/q

7. divide todos os termos por x² (note que 0 não é raiz)
[tex3]6(x^2+x^{-2})-35(x+x^{-1})+62 = 0[/tex3]
completa o quadrado no primeiro termo e substitui [tex3](x+x^{-1})[/tex3] por z, por exemplo.
Aí resolve uma eq. de segundo grau (bhaskara)

8. [tex3]\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{n!}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n }{(n+1)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}[/tex3]