Física II

A figura a seguir representa uma lente plano-convexa espessa. A distância entre o vértice direito e sua base plana vale R. Os ângulos das de inclinação da face convexa (alfa, por exemplo) são menores que 90º. Uma fonte isotrópica é colocada sobre um ponto S, distando R da face plana e sobre o eixo principal. O formato da lente faz com que todos os raios incidentes deixem a lente paralelos ao eixo principal. Assim sendo, determine o ângulo de inclinação da extremidade alfa. A base plana da lente possui comprimento de 2R (ver figura).

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Resposta

[tex3]tg\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3]

Mensagem não lida por **παθμ** » 24 Out 2023, 23:48

Seja [tex3]x=0[/tex3] a posição da fonte. A partir de [tex3]x=2R,[/tex3] todos os raios de luz emitidos seguem paralelos, em uma mesma frente de onda. Então, pelo princípio de Huygens, o caminho óptico percorrido por qualquer raio, desde a emissão da fonte até o momento em que ele atinge [tex3]x=2R,[/tex3] é o mesmo. Vamos pegar o raio que passa pelo meio e o raio que passa no ponto mais alto da lente.

O raio que passa pelo ponto mais alto percorreu um caminho óptico [tex3]\sqrt{2}R+R.[/tex3]

Já o que passa pelo centro percorreu um caminho óptico [tex3]R+nR.[/tex3]

[tex3]\sqrt{2}R+R=R+nR \Longrightarrow n=\sqrt{2}.[/tex3]

Agora, vamos usar a lei de Snell para achar [tex3]\alpha,[/tex3] analisando o raio que atinge o ponto mais alto da lente.

Primeiramente ele refrata na superfície vertical, com um ângulo de incidência de [tex3]45 \degree.[/tex3] Se [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo de refração:

[tex3]\sin(45 \degree)= \sqrt{2} \sin(\theta) \Longrightarrow \sin(\theta)=\frac{1}{2} \Longrightarrow \theta=30 \degree.[/tex3]

Agora, vamos analisar a refração na superfície curva. No ponto em questão, ela está inclinada de [tex3]\alpha[/tex3] em relação à vertical. Podemos determinar que o ângulo de incidência é [tex3]\alpha-30 \degree,[/tex3] como ilustrado abaixo. E o ângulo de refração é [tex3]\alpha.[/tex3]

: Screenshot 2023-10-24 234338.png (144.07 KiB) Exibido 298 vezes

[tex3]\sqrt{2} \sin(\alpha - 30 \degree)=\sin(\alpha).[/tex3]

[tex3]\sin(\alpha-30\degree)=\sin(\alpha)\cos(30\degree)-\sin(30\degree)\cos(\alpha)=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\sin(\alpha)-\cos(\alpha)),[/tex3] então:

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}\sin(\alpha)-\cos(\alpha))=\sin(\alpha) \Longrightarrow \frac{\sqrt2}{2}(\sqrt{3}\tan(\alpha)-1)=\tan(\alpha).[/tex3]

[tex3]\tan(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{6}-2}}=\boxed{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/tex3]

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