O valor mínimo de [tex3]x[/tex3]
ocorre quando a refração a 90 graus ocorre na superfície curva (isto é, no limite da reflexão total), e o valor máximo ocorre quando a luz incide a uma altura [tex3]y \rightarrow 0[/tex3]
no cilindro.
Obs: Isso
não é matematicamente óbvio. Para mostrar isso, você poderia calcular explicitamente [tex3]x[/tex3]
em função do ângulo de incidência [tex3]\theta[/tex3]
na superfície curva, e mostrar que ele é uma função estritamente descrescente para [tex3]\theta<\arcsin(1/n).[/tex3]
A função é:
[tex3]x(\theta)=\frac{R \sin(\theta)}{\tan(\arcsin(n\sin(\theta))-\theta)}+R \cos(\theta)-R.[/tex3]
Provar que [tex3]x'(\theta)<0[/tex3]
para todo [tex3]0 < \theta < \arcsin(1/n)[/tex3]
seria suficiente, mas isso se mostra muito entediante e complicado. Ao mesmo tempo, é fato de que as afirmações que foram feitas sobre as situações de máximo e mínimo de [tex3]x[/tex3]
são intuitivas, mas isso não é uma justificativa válida. Nossa intuição sem rigor matemático muitas vezes é falha. Mesmo assim, eu já vi essa questão cair até em uma prova da OBC, que é uma prova de bem baixo nível, o que mostra que era esperado que essa questão fosse resolvida só na intuição...
Primeiramente vamos ver a iminência de reflexão total (para achar o [tex3]x_{min})[/tex3]
:
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O raio emergente é perpendicular à direção radial.
[tex3]\tan(\theta)=\frac{x+R(1-\cos(\theta))}{h}.[/tex3]
[tex3]\sin(\theta)=\frac{1}{n}=\frac{2}{3},[/tex3]
[tex3]R=5 \; \text{cm},[/tex3]
[tex3]\cos(\theta)=\frac{\sqrt{5}}{3},[/tex3]
[tex3]h=R \sin(\theta)=\frac{10}{3} \; \text{cm}, \; \tan(\theta)=\frac{2}{\sqrt{5}}.[/tex3]
Plugando os valores numéricos e resolvendo para x: [tex3]\boxed{x_{min}=(3\sqrt{5}-5) \; \text{cm}}[/tex3]
Agora, para achar o [tex3]x_{max},[/tex3]
consideramos o limite [tex3]\theta \rightarrow 0.[/tex3]
Esse é o caso paraxial, e por isso podemos simplesmente usar a equação do dioptro esférico:
[tex3]\frac{n_1}{p}+\frac{n_2}{p'}=\frac{n_2-n_1}{R}.[/tex3]
[tex3]p \rightarrow \infty, \; \; n_1=1,5, \; \; n_2=1, \; \; R=-5 \; \text{cm}, \; \; p'=x.[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}=\frac{0,5}{5} \Longrightarrow \boxed{x_{max}=10 \; \text{cm}}[/tex3]