A área da abertura é [tex3]a.[/tex3]
A velocidade com a qual a água sai é [tex3]\sqrt{2gh},[/tex3]
e assim temos [tex3]\frac{dV}{dt}=-\sqrt{2gh}a,[/tex3]
com [tex3]V=Ah \Longrightarrow \frac{dV}{dt}=A \frac{dh}{dt},[/tex3]
sendo [tex3]h(t)[/tex3]
a altura do nível da água.
[tex3]A \frac{dh}{dt}=-a\sqrt{2gh}. [/tex3]
(Eq. 1)
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A distância do besouro à cortiça é [tex3]s=H-h+\delta=H-h(1-\tan(\theta)).[/tex3]
A distância [tex3]x[/tex3]
que ele percorre para a esquerda desde o instante inicial é [tex3]x=s(h)-s(H)=H(1-\tan(\theta))-h(1-\tan(\theta)) \Longrightarrow v=-(1-\tan(\theta)) \frac{dh}{dt}.[/tex3]
Como [tex3]s(H)=R=\sqrt{\frac{A}{\pi}},[/tex3]
temos [tex3]\tan(\theta)=\frac{1}{H}\sqrt{\frac{A}{\pi}}.[/tex3]
Substituindo isso na expressão de x, temos [tex3]x=H-\sqrt{\frac{A}{\pi}}-h+\frac{h}{H}\sqrt{\frac{A}{\pi}}.[/tex3]
Substituindo os valores numéricos [tex3]H=4 \; \text{m}[/tex3]
e [tex3]A=9\pi \; \text{m}^2:[/tex3]
[tex3]x=1-\frac{h}{4} \Longrightarrow \sqrt{h}=2\sqrt{1-x}.[/tex3]
Substituindo isso na Eq. 1 temos [tex3]\frac{dh}{dt}=-\frac{a}{A}\sqrt{2g} \cdot 2\sqrt{1-x}.[/tex3]
Substituindo o resultado acima na expressão de [tex3]v[/tex3]
além de usarmos [tex3]\tan(\theta)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{9\pi^2}{\pi}}=\frac{3}{4}[/tex3]
vem:
[tex3]\boxed{v=\frac{a}{A}\sqrt{\frac{g(1-x)}{2}}}[/tex3]