Física II ⇒ (FB) Refração da luz Tópico resolvido

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Um feixe de luz monocromática atinge um prisma transparente. A secção transversal do prisma é um hexágono regular. O feixe é paralelo às faces superior e inferior do prisma, e os pontos A e B no diagrama são os pontos médios das arestas correspondentes. Depois da refração, dois feixes paralelos separados de luz emergem do prisma. Qual é o índice de refração mínimo do material do prisma que permite tal condição?

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Resposta

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[tex3]n=\frac{\sqrt{13}}{2}[/tex3]

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[tex3]n=\frac{\sqrt{13}}{2}[/tex3]

[παθμ]

Para que todos os raios saiam horizontais, é necessário que eles emerjam pelo lado do hexágono que é paralelo ao incidente. Veja que isso é "mais difícil" para os raios que estão mais afastados do eixo de simetria horizontal do hexágono. Assim, a situação crítica ocorre quando os raios que incidem em um dos pontos médios A e B atingem o vértice direito do hexágono.

Screenshot 2023-10-22 165007.png (113.63 KiB) Exibido 232 vezes

O ângulo de incidência é [tex3]30\degree,[/tex3]

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[tex3]30\degree,[/tex3]

e seja [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

o ângulo de refração. O ângulo que o raio no interior do hexágono faz com a horizontal é [tex3]30\degree - \theta.[/tex3]

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[tex3]30\degree - \theta.[/tex3]

Sendo [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

o lado do hexágono, a distância horizontal entre os pontos de incidência e emergência é [tex3]\frac{l}{2}\cos(60\degree)+l+l\cos(60\degree)=\frac{7l}{4},[/tex3]

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[tex3]\frac{l}{2}\cos(60\degree)+l+l\cos(60\degree)=\frac{7l}{4},[/tex3]

e a distância vertical é [tex3]l\sin(60\degree)-\frac{l}{2}\sin(60\degree)=\frac{\sqrt{3}l}{4}.[/tex3]

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[tex3]l\sin(60\degree)-\frac{l}{2}\sin(60\degree)=\frac{\sqrt{3}l}{4}.[/tex3]

[tex3]\tan(30\degree - \theta)=\frac{\sqrt{3}l/4}{7l/4} \Longrightarrow \frac{\tan(30\degree)-\tan(\theta)}{1+\tan(30\degree)\tan(\theta)}=\frac{\sqrt{3}}{7} \Longrightarrow \tan(\theta)=\sqrt{3}/6 \Longrightarrow \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{13}}.[/tex3]

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[tex3]\tan(30\degree - \theta)=\frac{\sqrt{3}l/4}{7l/4} \Longrightarrow \frac{\tan(30\degree)-\tan(\theta)}{1+\tan(30\degree)\tan(\theta)}=\frac{\sqrt{3}}{7} \Longrightarrow \tan(\theta)=\sqrt{3}/6 \Longrightarrow \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{13}}.[/tex3]

[tex3]\sin(30\degree)=n\sin(\theta) \Longrightarrow \boxed{n=\frac{\sqrt{13}}{2}}[/tex3]

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[tex3]\sin(30\degree)=n\sin(\theta) \Longrightarrow \boxed{n=\frac{\sqrt{13}}{2}}[/tex3]