Física II ⇒ (FB) Reflexão da luz Tópico resolvido

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No arranjo esquematizado, B é uma pequena fonte laser que projeta um feixe sobre o espelho plano E, projetando um ponto luminoso no teto. O carretel, de raios interno r e externo R, é puxado com velocidade de módulo u por meio de um cordão nele enrolado. À medida que o cordão é puxado, o espelho articulado em A, e apenas encostado no carretel, gira, fazendo o ponto luminoso na parede mover-se com velocidade de módulo v.

dsd.png (6.15 KiB) Exibido 926 vezes

Para [tex3]\alpha =60º[/tex3]

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[tex3]\alpha =60º[/tex3]

, determine o valor de v.

Resposta

---

[tex3]\frac{4}{3}\left(\frac{uh}{R-r}\right)[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{3}\left(\frac{uh}{R-r}\right)[/tex3]

[παθμ]

Para chegar numa resposta, é necessário assumir que o ponto B está na mesma altura do ponto A.

Seja [tex3]V[/tex3]

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[tex3]V[/tex3]

a velocidade do carretel e [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

a distância do ponto de contato do carretel com o chão ao ponto A.

Sendo [tex3]\Omega[/tex3]

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[tex3]\Omega[/tex3]

sua velocidade angular, temos [tex3]V=\Omega R \Longrightarrow \Omega=\frac{V}{R}.[/tex3]

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[tex3]V=\Omega R \Longrightarrow \Omega=\frac{V}{R}.[/tex3]

Veja que a velocidade do primeiro ponto de contato do fio com o carretel é [tex3]V-\Omega r=\frac{V(R-r)}{R}.[/tex3]

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[tex3]V-\Omega r=\frac{V(R-r)}{R}.[/tex3]

Essa velocidade deve ser [tex3]u,[/tex3]

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[tex3]u,[/tex3]

a velocidade de todos os pontos do segmento horizontal do fio, então [tex3]V=\frac{uR}{R-r}.[/tex3]

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[tex3]V=\frac{uR}{R-r}.[/tex3]

Com geometria simples, podemos obter [tex3]\tan(\alpha/2)=\frac{R}{x}.[/tex3]

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[tex3]\tan(\alpha/2)=\frac{R}{x}.[/tex3]

Seja [tex3]x_p[/tex3]

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[tex3]x_p[/tex3]

a posição do ponto luminoso, sendo a abscissa de A a origem.

Screenshot 2023-10-22 113326.png (85 KiB) Exibido 238 vezes

[tex3]x_p=\frac{h}{\tan(2\alpha)} \Longrightarrow v=h \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right).[/tex3]

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[tex3]x_p=\frac{h}{\tan(2\alpha)} \Longrightarrow v=h \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right).[/tex3]

[tex3]\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right)=-\frac{1}{\tan^2(2\alpha)} \frac{d}{dt}(\tan(2\alpha))=-\frac{\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \frac{1}{\cos^2(2\alpha)} \cdot 2\dot{\alpha}=-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}.[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right)=-\frac{1}{\tan^2(2\alpha)} \frac{d}{dt}(\tan(2\alpha))=-\frac{\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \frac{1}{\cos^2(2\alpha)} \cdot 2\dot{\alpha}=-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}.[/tex3]

Um jeito fácil de achar [tex3]\dot{\alpha}[/tex3]

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[tex3]\dot{\alpha}[/tex3]

é usar diretamente o vínculo de contato entre o espelho e o carretel. A componente perpendicular ao espelho da velocidade do ponto do carretel que está em contato com o espelho deve ser igual a [tex3]\omega x,[/tex3]

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[tex3]\omega x,[/tex3]

a velocidade linear daquele ponto do espelho.

Screenshot 2023-10-22 113840.png (109.36 KiB) Exibido 238 vezes

[tex3]V \sin(\alpha)= \omega x \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V \sin(\alpha)}{x}.[/tex3]

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[tex3]V \sin(\alpha)= \omega x \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V \sin(\alpha)}{x}.[/tex3]

Sendo [tex3]\alpha=60 \degree,[/tex3]

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[tex3]\alpha=60 \degree,[/tex3]

temos [tex3]\tan(30\degree)=\frac{R}{x} \Longrightarrow x=\sqrt{3} R \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V}{2R}.[/tex3]

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[tex3]\tan(30\degree)=\frac{R}{x} \Longrightarrow x=\sqrt{3} R \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V}{2R}.[/tex3]

[tex3]-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}=\frac{V}{R} \frac{1}{\sin^2(120\degree)}=\frac{4V}{3R}[/tex3]

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[tex3]-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}=\frac{V}{R} \frac{1}{\sin^2(120\degree)}=\frac{4V}{3R}[/tex3]

[tex3]\boxed{v=\frac{4Vh}{3R}=\frac{4uh}{3(R-r)}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{v=\frac{4Vh}{3R}=\frac{4uh}{3(R-r)}}[/tex3]