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Resposta
[tex3]\frac{4}{3}\left(\frac{uh}{R-r}\right)[/tex3]
Física II ⇒ (FB) Reflexão da luz Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Deleted User 23699
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Mar 2021
22
17:39
(FB) Reflexão da luz
No arranjo esquematizado, B é uma pequena fonte laser que projeta um feixe sobre o espelho plano E, projetando um ponto luminoso no teto. O carretel, de raios interno r e externo R, é puxado com velocidade de módulo u por meio de um cordão nele enrolado. À medida que o cordão é puxado, o espelho articulado em A, e apenas encostado no carretel, gira, fazendo o ponto luminoso na parede mover-se com velocidade de módulo v.
Para [tex3]\alpha =60º[/tex3] , determine o valor de v.
[tex3]\frac{4}{3}\left(\frac{uh}{R-r}\right)[/tex3]
Para [tex3]\alpha =60º[/tex3] , determine o valor de v.
[tex3]\frac{4}{3}\left(\frac{uh}{R-r}\right)[/tex3]
Out 2023
22
11:44
Re: (FB) Reflexão da luz
Para chegar numa resposta, é necessário assumir que o ponto B está na mesma altura do ponto A.
Seja [tex3]V[/tex3] a velocidade do carretel e [tex3]x[/tex3] a distância do ponto de contato do carretel com o chão ao ponto A.
Sendo [tex3]\Omega[/tex3] sua velocidade angular, temos [tex3]V=\Omega R \Longrightarrow \Omega=\frac{V}{R}.[/tex3]
Veja que a velocidade do primeiro ponto de contato do fio com o carretel é [tex3]V-\Omega r=\frac{V(R-r)}{R}.[/tex3]
Essa velocidade deve ser [tex3]u,[/tex3] a velocidade de todos os pontos do segmento horizontal do fio, então [tex3]V=\frac{uR}{R-r}.[/tex3]
Com geometria simples, podemos obter [tex3]\tan(\alpha/2)=\frac{R}{x}.[/tex3]
Seja [tex3]x_p[/tex3] a posição do ponto luminoso, sendo a abscissa de A a origem.
[tex3]x_p=\frac{h}{\tan(2\alpha)} \Longrightarrow v=h \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right).[/tex3]
[tex3]\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right)=-\frac{1}{\tan^2(2\alpha)} \frac{d}{dt}(\tan(2\alpha))=-\frac{\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \frac{1}{\cos^2(2\alpha)} \cdot 2\dot{\alpha}=-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}.[/tex3]
Um jeito fácil de achar [tex3]\dot{\alpha}[/tex3] é usar diretamente o vínculo de contato entre o espelho e o carretel. A componente perpendicular ao espelho da velocidade do ponto do carretel que está em contato com o espelho deve ser igual a [tex3]\omega x,[/tex3] a velocidade linear daquele ponto do espelho.
[tex3]V \sin(\alpha)= \omega x \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V \sin(\alpha)}{x}.[/tex3]
Sendo [tex3]\alpha=60 \degree,[/tex3] temos [tex3]\tan(30\degree)=\frac{R}{x} \Longrightarrow x=\sqrt{3} R \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V}{2R}.[/tex3]
[tex3]-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}=\frac{V}{R} \frac{1}{\sin^2(120\degree)}=\frac{4V}{3R}[/tex3]
[tex3]\boxed{v=\frac{4Vh}{3R}=\frac{4uh}{3(R-r)}}[/tex3]
Seja [tex3]V[/tex3] a velocidade do carretel e [tex3]x[/tex3] a distância do ponto de contato do carretel com o chão ao ponto A.
Sendo [tex3]\Omega[/tex3] sua velocidade angular, temos [tex3]V=\Omega R \Longrightarrow \Omega=\frac{V}{R}.[/tex3]
Veja que a velocidade do primeiro ponto de contato do fio com o carretel é [tex3]V-\Omega r=\frac{V(R-r)}{R}.[/tex3]
Essa velocidade deve ser [tex3]u,[/tex3] a velocidade de todos os pontos do segmento horizontal do fio, então [tex3]V=\frac{uR}{R-r}.[/tex3]
Com geometria simples, podemos obter [tex3]\tan(\alpha/2)=\frac{R}{x}.[/tex3]
Seja [tex3]x_p[/tex3] a posição do ponto luminoso, sendo a abscissa de A a origem.
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[tex3]\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\tan(2\alpha)}\right)=-\frac{1}{\tan^2(2\alpha)} \frac{d}{dt}(\tan(2\alpha))=-\frac{\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \frac{1}{\cos^2(2\alpha)} \cdot 2\dot{\alpha}=-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}.[/tex3]
Um jeito fácil de achar [tex3]\dot{\alpha}[/tex3] é usar diretamente o vínculo de contato entre o espelho e o carretel. A componente perpendicular ao espelho da velocidade do ponto do carretel que está em contato com o espelho deve ser igual a [tex3]\omega x,[/tex3] a velocidade linear daquele ponto do espelho.
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Sendo [tex3]\alpha=60 \degree,[/tex3] temos [tex3]\tan(30\degree)=\frac{R}{x} \Longrightarrow x=\sqrt{3} R \Longrightarrow \dot{\alpha}=-\frac{V}{2R}.[/tex3]
[tex3]-\frac{2\dot{\alpha}}{\sin^2(2\alpha)}=\frac{V}{R} \frac{1}{\sin^2(120\degree)}=\frac{4V}{3R}[/tex3]
[tex3]\boxed{v=\frac{4Vh}{3R}=\frac{4uh}{3(R-r)}}[/tex3]
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