Física II ⇒ Condução térmica- Olimpíada indiana de Física Tópico resolvido

[iammaribrg]

Uma parede é composto por quatro camadas A, B, C e D, sobrepostas e de espessuras iguais a L. Sabendo que a condutividade dos materiais valem, respectivamente, 2k, 3k, 4k, 5k e que a face livre de A está auma temperatura de [tex3]308C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]308C^{\circ}[/tex3]

e que a face livre D está a uma temperatura de [tex3]154C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]154C^{\circ}[/tex3]

, determine, em [tex3]C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]C^{\circ}[/tex3]

, a temperatura da interface BC

a) [tex3]208C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]208C^{\circ}[/tex3]

b)[tex3]220C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]220C^{\circ}[/tex3]

c)[tex3]225C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]225C^{\circ}[/tex3]

d)[tex3]230C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]230C^{\circ}[/tex3]

e)[tex3]238C^{\circ}[/tex3]

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[tex3]238C^{\circ}[/tex3]

Resposta

---

a

[Deleted User 23699]

Pela Lei de Fourier

[tex3]\phi =\frac{KA\Delta T}{e}\rightarrow \Delta T=\left(\frac{e}{KA}\right)\phi [/tex3]

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[tex3]\phi =\frac{KA\Delta T}{e}\rightarrow \Delta T=\left(\frac{e}{KA}\right)\phi [/tex3]

Com uma nítida semelhança com U = Ri

Resistência térmica em série = Soma de todas as resistências

[tex3]\left(\frac{4e}{K_{eq}A}\right)=\left(\frac{e}{K_aA}\right)+\left(\frac{e}{K_bA}\right)+\left(\frac{e}{K_cA}\right)+\left(\frac{e}{K_dA}\right)\\
\left(\frac{4}{K_{eq}}\right)=\left(\frac{1}{2K}\right)+\left(\frac{1}{3K}\right)+\left(\frac{1}{4K}\right)+\left(\frac{1}{5K}\right)\\
\left(\frac{4}{K_{eq}}\right)=\left(\frac{77}{60K}\right)\\
K_{eq}=\frac{240K}{77}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{4e}{K_{eq}A}\right)=\left(\frac{e}{K_aA}\right)+\left(\frac{e}{K_bA}\right)+\left(\frac{e}{K_cA}\right)+\left(\frac{e}{K_dA}\right)\\
\left(\frac{4}{K_{eq}}\right)=\left(\frac{1}{2K}\right)+\left(\frac{1}{3K}\right)+\left(\frac{1}{4K}\right)+\left(\frac{1}{5K}\right)\\
\left(\frac{4}{K_{eq}}\right)=\left(\frac{77}{60K}\right)\\
K_{eq}=\frac{240K}{77}[/tex3]

Logo
[tex3]\phi =\frac{240KA.154}{77.4e}=\frac{36960KA}{77.4e}[/tex3]

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[tex3]\phi =\frac{240KA.154}{77.4e}=\frac{36960KA}{77.4e}[/tex3]

Mas o fluxo é constante por todos os resistores térmicos, pois estão em série

[tex3]\phi _{ABC}=\phi \\
\frac{K_{AB}A\Delta T'}{2e}=\frac{36960KA}{77.4e}\\
\frac{K_{AB}\Delta T'}{2}=\frac{36960K}{77.4}
[/tex3]

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[tex3]\phi _{ABC}=\phi \\
\frac{K_{AB}A\Delta T'}{2e}=\frac{36960KA}{77.4e}\\
\frac{K_{AB}\Delta T'}{2}=\frac{36960K}{77.4}
[/tex3]

Resta calcular K_ab que ficará em função de K também

[tex3]\left(\frac{2}{K_{AB}}\right)=\left(\frac{1}{2K}\right)+\left(\frac{1}{3K}\right)\\
K_{AB}=\frac{12K}{5}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{2}{K_{AB}}\right)=\left(\frac{1}{2K}\right)+\left(\frac{1}{3K}\right)\\
K_{AB}=\frac{12K}{5}[/tex3]

Voltando na expressão anterior

[tex3]\frac{12K\Delta T}{10}=\frac{36960K}{77.4}[/tex3]

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[tex3]\frac{12K\Delta T}{10}=\frac{36960K}{77.4}[/tex3]

EDIT: Tinha faltado dividir por 4 no Keq, pela espessura total...

[tex3]\Delta T=100ºC\\[/tex3]

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[tex3]\Delta T=100ºC\\[/tex3]

Que implica em T = 208ºC