Física II ⇒ Calorimetria Tópico resolvido

[Sabida]

Um corpo negro no formato esférico de raio R e massa M se encontra no interior de uma cavidade com vácuo dentro. As paredes são mantidas a T0. A temperatura inicial da esfera é 3T0. Se a capacidade calorífica do material da esfera varia como [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

T3 por unidade de massa ([tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

é uma constante), determine em quanto tempo a temperatura da esfera vai alcançar 2T0.

Dado: Constante de Stefan Boltzmann=[tex3]\sigma[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma[/tex3]

(a)[tex3]\frac{M\alpha }{4\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{M\alpha }{4\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]

(b)[tex3]\frac{M\alpha }{4\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{16}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{M\alpha }{4\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{16}{3}}[/tex3]

(c)[tex3]\frac{M\alpha }{16\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{16}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{M\alpha }{16\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{16}{3}}[/tex3]

(d)[tex3]\frac{M\alpha }{16\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{M\alpha }{16\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]

(e)[tex3]\frac{M\alpha }{32\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{M\alpha }{32\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]

Não possuo o gabarito

[Matheusrpb]

Sabida, boa noite !

[tex3]I.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I.[/tex3]

Fluxo de energia na esfera pela Lei de Stefan-Boltzmann:

[tex3]P=\sigma \cdot A\cdot \(T_0^4-T^4\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P=\sigma \cdot A\cdot \(T_0^4-T^4\)[/tex3]

[tex3]P=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]

[tex3]\frac{dE}{dt}=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dE}{dt}=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]

[tex3]\boxed{dE=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{dE=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt}[/tex3]

[tex3]II.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]II.[/tex3]

Mas nós sabemos que:

[tex3]dE=M\cdot c\cdot dT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dE=M\cdot c\cdot dT[/tex3]

[tex3]4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt=M\cdot \alpha T^3\cdot dT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt=M\cdot \alpha T^3\cdot dT[/tex3]

[tex3]dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]

[tex3]\int\limits^t_0dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits^t_0dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]

Fazendo a seguinte substituição:

[tex3]T_0^4-T^4=u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T_0^4-T^4=u[/tex3]

[tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]

[tex3]t=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}u\cdot \(-\frac{du}{4T^3}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}u\cdot \(-\frac{du}{4T^3}\)[/tex3]

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{du}u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{du}u[/tex3]

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln u \ \rightarrow \ u=T_0^4-T^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln u \ \rightarrow \ u=T_0^4-T^4[/tex3]

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(T_0^4-T^4\)\]^{2T_0}_{3T_0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(T_0^4-T^4\)\]^{2T_0}_{3T_0}[/tex3]

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(16T_0^4-T_0^4\)-\ln\(81T_0^4-T_0^4\)\][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(16T_0^4-T_0^4\)-\ln\(81T_0^4-T_0^4\)\][/tex3]

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{3}{16}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{3}{16}\)[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{t=\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{16}3\)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{t=\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{16}3\)}}[/tex3]

[Sabida]

[tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]

Poderia me explicar o motivo de ser [tex3]-4T^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4T^3[/tex3]

[Deleted User 23699]

Sabida
Ele quis achar a derivada da expressão de substituição
T_0 é uma constante então sumiu
Derivando -T^4 deu -4T³ dT

Por ser uma integral um pouco complexa a melhor saída era essa substituição que ele fez, pra ele poder substituir a expressão feia por simplesmente a integral de du/u