Olá,
Sabida.
Primeiramente, podemos fazer a seguinte análise para a escala de latão:
[tex3]\begin{cases}
\begin{align}
0 \degree \text C & \longrightarrow \text H_1 \\
\text T_1 &\overset{\approx}{\longrightarrow} \text H_1 \iff \text H_1 \cdot \(1+\alpha \text T_1 \) \quad \text{(1)}
\end{align}
\end{cases}[/tex3]
Agora, um jeito interessante de analisar a relação entre [tex3]\text H_0[/tex3]
e [tex3]\text H_1[/tex3]
é perceber que a pressão no fundo do recipiente superfície, em ambos casos, será igual a pressão exercida pelo mercúrio, donde vem que:
[tex3]\text P_0 = \text P_1 \iff \rho_0 \cdot \text g \cdot \text H_0 = \rho_1 \cdot \text g \cdot \text H_1 \quad \text{(2)}[/tex3]
Além disso, a densidade do mercúrio pode ser relacionada da seguinte forma:
[tex3]\rho_1 = \frac{\rho_0 }{\(1 + \beta \text T_1\)} \quad \text{(3)}[/tex3]
Isso advém da relação com o volume:
[tex3]\text V_1 = \text V_0 \cdot \( 1 + \beta \text T_1\)[/tex3]
Com a densidade é inversamente proporcional ao volume, obtemos a relação em [tex3]\(3\).[/tex3]
Substituindo [tex3](1)[/tex3]
e [tex3](3)[/tex3]
em [tex3](2),[/tex3]
ficamos com:
[tex3]\rho_1 \cdot \( 1 + \beta \text T_1 \) \cdot \text g \cdot \text H_0 = \rho_1 \cdot \text g \cdot \text H_1 \cdot \(1 + \alpha \text T_1\)[/tex3]
Simplificando e resolvendo para [tex3]\text H_0[/tex3]
:
[tex3]\text H_0 = \text H_1 \cdot \(\frac{1 + \alpha \text T_1}{1 + \beta \text T_1}\)[/tex3]