Física II ⇒ Dilatação (Saraeva) Tópico resolvido

[Sabida]

À temperatura T1, a altura da coluna de mercúrio, medida em uma escala de latão, é igual a H1. Qual é a altura H0 que terá a coluna de mercúrio para t =0°C ? O coeficiente de dilatação linear do latão é [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

e o coeficiente de expansão volumétrica do mercúrio é [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

.

Resposta

---

H0= H1 [tex3]\frac{(1+\alpha T1)}{1+\beta T1}[/tex3]

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[tex3]\frac{(1+\alpha T1)}{1+\beta T1}[/tex3]

[Planck]

Olá, Sabida.

Primeiramente, podemos fazer a seguinte análise para a escala de latão:

[tex3]\begin{cases}
\begin{align}
0 \degree \text C & \longrightarrow \text H_1 \\
\text T_1 &\overset{\approx}{\longrightarrow} \text H_1 \iff \text H_1 \cdot \(1+\alpha \text T_1 \) \quad \text{(1)}
\end{align}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\begin{align}
0 \degree \text C & \longrightarrow \text H_1 \\
\text T_1 &\overset{\approx}{\longrightarrow} \text H_1 \iff \text H_1 \cdot \(1+\alpha \text T_1 \) \quad \text{(1)}
\end{align}
\end{cases}[/tex3]

Agora, um jeito interessante de analisar a relação entre [tex3]\text H_0[/tex3]

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[tex3]\text H_0[/tex3]

e [tex3]\text H_1[/tex3]

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[tex3]\text H_1[/tex3]

é perceber que a pressão no fundo do recipiente superfície, em ambos casos, será igual a pressão exercida pelo mercúrio, donde vem que:

[tex3]\text P_0 = \text P_1 \iff \rho_0 \cdot \text g \cdot \text H_0 = \rho_1 \cdot \text g \cdot \text H_1 \quad \text{(2)}[/tex3]

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[tex3]\text P_0 = \text P_1 \iff \rho_0 \cdot \text g \cdot \text H_0 = \rho_1 \cdot \text g \cdot \text H_1 \quad \text{(2)}[/tex3]

Além disso, a densidade do mercúrio pode ser relacionada da seguinte forma:

[tex3]\rho_1 = \frac{\rho_0 }{\(1 + \beta \text T_1\)} \quad \text{(3)}[/tex3]

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[tex3]\rho_1 = \frac{\rho_0 }{\(1 + \beta \text T_1\)} \quad \text{(3)}[/tex3]

Isso advém da relação com o volume:

[tex3]\text V_1 = \text V_0 \cdot \( 1 + \beta \text T_1\)[/tex3]

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[tex3]\text V_1 = \text V_0 \cdot \( 1 + \beta \text T_1\)[/tex3]

Com a densidade é inversamente proporcional ao volume, obtemos a relação em [tex3]\(3\).[/tex3]

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[tex3]\(3\).[/tex3]

Substituindo [tex3](1)[/tex3]

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[tex3](1)[/tex3]

e [tex3](3)[/tex3]

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[tex3](3)[/tex3]

em [tex3](2),[/tex3]

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[tex3](2),[/tex3]

ficamos com:

[tex3]\rho_1 \cdot \( 1 + \beta \text T_1 \) \cdot \text g \cdot \text H_0 = \rho_1 \cdot \text g \cdot \text H_1 \cdot \(1 + \alpha \text T_1\)[/tex3]

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[tex3]\rho_1 \cdot \( 1 + \beta \text T_1 \) \cdot \text g \cdot \text H_0 = \rho_1 \cdot \text g \cdot \text H_1 \cdot \(1 + \alpha \text T_1\)[/tex3]

Simplificando e resolvendo para [tex3]\text H_0[/tex3]

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[tex3]\text H_0[/tex3]

:

[tex3]\text H_0 = \text H_1 \cdot \(\frac{1 + \alpha \text T_1}{1 + \beta \text T_1}\)[/tex3]

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[tex3]\text H_0 = \text H_1 \cdot \(\frac{1 + \alpha \text T_1}{1 + \beta \text T_1}\)[/tex3]

[Sabida]

Com a densidade é inversamente proporcional ao volume, obtemos a relação em (3). Substituindo (1) e (3) em (2), ficamos com:

Nessa parte, não seria g em vez de h no segundo membro da equação?

[Planck]

Nessa parte, não seria g em vez de h no segundo membro da equação?

Sim, digitei errado. Obrigado pela correção.

[Sabida]

Obrigada pela rapidez e clareza na resposta

[Planck]

Obrigada pela rapidez e clareza na resposta

De nada.