Olá,
joãofw.
Bom, a menor distância acontece quando [tex3]\text p = \text {p’} = \text {2f}.[/tex3]
Desse modo, pela equação de Gauss, ficamos com:
[tex3]\frac{1}{\text{f}} = \frac{1}{\text {p}} + \frac{1}{\text{p’}} \implies \frac{1}{\text f}= \frac{\text p + \text {p’}}{\text {pp’}}[/tex3]
Mas, como [tex3]\text p = \text {p’} = \text {2f} \implies \text p + \text {p’} = 4\text f[/tex3]
:
[tex3]\frac{1}{\text f}= \frac{4 \text f}{\text {pp’}} \iff \text{pp’} = 4\text{f}^2[/tex3]
Como na questão as alternativas estão todas com expoente [tex3]3,[/tex3]
podemos fazer que:
[tex3]\(\text p + \text{p’}\) ^3=\( 4\text f\)^3 \iff \text p^3 + 3\text p^2( \text{p’}) + 3 \text p ( \text {p’})^2 + (\text{p’})^3 = 64 \text f^3[/tex3]
Podemos fatorar e obter o seguinte:
[tex3]\text p^3 + (\text {p’})^3 + 3 \text{pp’} ( \text{p} + \text{p’} ) = 64 \text f^3[/tex3]
Com a substituição de [tex3]\text p + \text{p’} = 4 \text f[/tex3]
e [tex3]\text{pp’} = 4\text f^2[/tex3]
vem que:
[tex3]\text p^3 + (\text {p’})^3 = 16 \text f^3 \iff \text p^3 + (\text {p’})^3 + 4 \text f^3= 16 \text f^3 + 4\text f^3 [/tex3]
Ou seja:
[tex3]\text p^3 + \text f \text{pp’} + \text{p’} = 20 \text f^3[/tex3]
Que questão! A parte de física é somente [tex3]\frac{1}{\text f} = \frac{1}{\text p} + \frac{1}{\text{p’}}[/tex3]
e [tex3]\text p = \text{p’} = 2 \text f.[/tex3]
O resto é manipulação matemática!