Física II ⇒ Oscilação harmônica amortecida Tópico resolvido

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Na Figura 2, o bloco possui uma massa de 1,5 𝑘𝑔 e a constante elástica é 8,0 𝑁/𝑚. O valor de 𝑏 é igual a 230 𝑔/𝑠. O bloco é puxado 12 𝑐𝑚 para baixo e liberado. (𝑎) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para 1/3 do valor inicial; (𝑏) Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo? .

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up! Damping=amortecedor

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Último up.Algum fera on aí pra me ajudar? snooplammer, Planck,

[Planck]

Olá sirisaac,

Primeiramente, vamos encontrar a relação de amortecimento (damping ratio). Isso pode ser verificado da seguinte forma:

• [tex3]\text{b}^2 < \text{4}\cdot \text{k} \cdot \text{m}[/tex3]

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  [tex3]\text{b}^2 < \text{4}\cdot \text{k} \cdot \text{m}[/tex3]

  , underdumping (sob amortecimento).
• [tex3]\text{b}^2 = \text{4}\cdot \text{k} \cdot \text{m}[/tex3]

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  [tex3]\text{b}^2 = \text{4}\cdot \text{k} \cdot \text{m}[/tex3]

  , critical dumping (amortecimento crítico).
• [tex3]\text{b}^2 > \text{4}\cdot \text{k} \cdot \text{m}[/tex3]

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  [tex3]\text{b}^2 > \text{4}\cdot \text{k} \cdot \text{m}[/tex3]

  , overdumping (sobrecarregado).

Então, vamos fazer que:

[tex3](0,23)^2 < 4 \cdot 1,5 \cdot 8 \, \, \implies 0,0529 < 48[/tex3]

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[tex3](0,23)^2 < 4 \cdot 1,5 \cdot 8 \, \, \implies 0,0529 < 48[/tex3]

Em sistemas sob amortecimento, a tendência para amplitude é seguir a função [tex3]\text{A} = \text{A}_0 \cdot e^{-\gamma \cdot\text{t}}[/tex3]

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[tex3]\text{A} = \text{A}_0 \cdot e^{-\gamma \cdot\text{t}}[/tex3]

, com [tex3]\gamma = \frac{\text{b}}{2\cdot \text{m}}[/tex3]

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[tex3]\gamma = \frac{\text{b}}{2\cdot \text{m}}[/tex3]

. Portanto, podemos fazer que:

[tex3]\gamma = \frac{0,23}{2 \cdot 1,5} \, \, \implies \, \, \gamma \approx 0,076[/tex3]

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[tex3]\gamma = \frac{0,23}{2 \cdot 1,5} \, \, \implies \, \, \gamma \approx 0,076[/tex3]

Com isso, temos que:

[tex3]\text{A} = \text{A}_0 \cdot e^{-\gamma \cdot\text{t}} \, \, \iff \, \, \text{t} = \frac{\ln \left( \frac{\text{A}_0}{\text{A}} \right)}{-\gamma} \, \, \implies \, \, \text{t} = \frac{\ln \left( \frac{1}{3} \right)}{-0,076} \, \, \therefore \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{t} = 14,45 \text { [s]}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

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[tex3]\text{A} = \text{A}_0 \cdot e^{-\gamma \cdot\text{t}} \, \, \iff \, \, \text{t} = \frac{\ln \left( \frac{\text{A}_0}{\text{A}} \right)}{-\gamma} \, \, \implies \, \, \text{t} = \frac{\ln \left( \frac{1}{3} \right)}{-0,076} \, \, \therefore \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{t} = 14,45 \text { [s]}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

Para descobrirmos quantas oscilações o bloco realiza, podemos fazer que:

[tex3]\omega_1= \sqrt {\omega_0^2 - \gamma^2} \, \, \implies \, \, \omega_1 = \sqrt {\frac{\text{k}}{\text{m}} - \gamma^2}[/tex3]

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[tex3]\omega_1= \sqrt {\omega_0^2 - \gamma^2} \, \, \implies \, \, \omega_1 = \sqrt {\frac{\text{k}}{\text{m}} - \gamma^2}[/tex3]

Desse modo:

[tex3]\text{T} = \frac{2 \pi }{\omega_1} \, \, \iff \, \, \text{T} = \frac{2 \pi }{\sqrt {\frac{\text{k}}{\text{m}} - \gamma^2}} \, \, \implies \, \, \text{T} = \frac{2 \pi }{\sqrt {\frac{\text{8}}{\text{1,5}} - 0,0529}} \approx 2,73 \text{ [s]}[/tex3]

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[tex3]\text{T} = \frac{2 \pi }{\omega_1} \, \, \iff \, \, \text{T} = \frac{2 \pi }{\sqrt {\frac{\text{k}}{\text{m}} - \gamma^2}} \, \, \implies \, \, \text{T} = \frac{2 \pi }{\sqrt {\frac{\text{8}}{\text{1,5}} - 0,0529}} \approx 2,73 \text{ [s]}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\frac{\text{t}}{\text{T}} = \frac{14,45}{2,73} = {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {5,29}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

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[tex3]\frac{\text{t}}{\text{T}} = \frac{14,45}{2,73} = {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {5,29}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]