Física II ⇒ Movimento Harmônico Forçado Tópico resolvido
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Jan 2019
25
18:49
Re: Movimento Harmônico Forçado
Eu posto a solução quando chegar em casa
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Jan 2019
26
03:12
Re: Movimento Harmônico Forçado
A resolução da homogênea não será necessária para determinar a amplitude do estado estacionário, mas eu vou mostrar o porquê. Até porque uma outra questão pode pedir algo relacionado a isso ou até mesmo a solução geral.
Vou começar resolvendo a equação homogênea relacionada:
[tex3]10\ddot{x} + 10\dot{x} + 2,8x = 0[/tex3]
Devido a todos os termos serem constantes. Vamos chegar no polinômio característico ao supor que a solução é da forma [tex3]x_H=C.e^{rt}[/tex3] com [tex3]C\in\mathbb{R}^*[/tex3]
Substituindo na EDO, tem-se:
[tex3]10.C.r^2.e^{rt}\ddot{x} + 10.C.r.e^{rt}\dot{x} + 2,8.C.e^{rt} = 0[/tex3]
[tex3]C.e^{rt}\(10.r^2 + 10.r+ 2,8\) = 0[/tex3]
Como [tex3]C.e^{rt}\neq 0[/tex3] , tem-se:
[tex3]10.r^2 + 10.r+ 2,8 = 0[/tex3]
Resolvendo essa equação do segundo grau, chega-se às seguintes raízes:
[tex3]r=\frac{-10\pm 2\sqrt{3}i}{20}[/tex3]
Dado este resultado, podemos escrever a solução na forma trigonométrica.
Obs: Escrever na forma exponencial não esta errado, mas escrevendo na forma trigonométrica vai facilitar a nossa conclusão mais a frente.
Assim,
[tex3]x_H=e^{-\frac{10}{20}t}\(C_1.\cos\(\frac{2\sqrt{3}}{20}t\)+C_2.\sen\(\frac{2\sqrt{3}}{20}t\) \);\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}[/tex3]
[tex3]\boxed{x_H=e^{-\frac{t}{2}}\(C_1.\cos\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\)+C_2.\sen\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\) \)}[/tex3]
Solução particular:
Já que o termo independente é trigonométrico, vamos resolver essa etapa pelo meio dos coeficientes indeterminados pro caso trigonométrico.
Obs: Existem outros jeitos de encontrar essa solução e ela não é única. No entanto, apesar de não ser única, todas as encontradas satisfazem o problema.
Seja [tex3]x_P=A.\cos(\sqrt{2}t)+B.\sen(\sqrt{2}t)[/tex3] com [tex3]A,B\in\mathbb{R}^*[/tex3]
Substituindo na EDO, tem-se:
[tex3]10\ddot{x} + 10\dot{x} + 2.8x = 20 cos (\sqrt{2}t)[/tex3]
[tex3]10\( -2.A.\cos(\sqrt{2}t)-2B.\sen(\sqrt{2}t) \) + 10\( -\sqrt{2}A.\sen(\sqrt{2}t)+\sqrt{2}B.\cos(\sqrt{2}t) \) + 2.8\( A.\cos(\sqrt2t)+B.\sen(\sqrt2t) \) = 20 cos (\sqrt{2}t)[/tex3]
[tex3]\( -20A+10\sqrt{2}B+2,8A-20\)\cdot\cos\(\sqrt{2}t\)+\( -20B-10\sqrt{2}A+2,8B\)\cdot\sen\(\sqrt{2}t\)=0[/tex3]
Sabemos que as funções seno e cosseno são linearmente independentes. Portanto, para essa relação valer para qualquer valor de "t", os dois coeficientes da equação acima devem ser nulos.
Deste modo, chegamos ao seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
-20A+10\sqrt{2}B+2,8A-20=0 \\
-20B-10\sqrt{2}A+2,8B=0
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo esse sistema, chegamos aos seguintes resultados aproximados para A e B:
[tex3]A=-0,694[/tex3]
[tex3]B=0,570[/tex3]
Deste modo, a solução particular será dada pela seguinte expressão:
[tex3]\boxed{x_P=-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)}[/tex3]
Daí, a solução geral será dada por
[tex3]x=x_P+x_H[/tex3]
[tex3]\boxed{x(t)=-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)+e^{-\frac{t}{2}}\(C_1.\cos\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\)+C_2.\sen\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\) \)}[/tex3]
O problema pediu a amplitude no estado estacionário. Ou seja, após o término do estado transiente.
Para ver como a expressão ficará, basta ver como fica a equação depois de muito tempo. Ou seja, [tex3]\lim_{t\to\infty}x(t)[/tex3] .
Veja que na solução homogênea tem multiplicado uma função exponencial decrescente e um combinação linear de seno e cosseno, que é limitada.
Portanto, para a solução homogênea, teríamos:
[tex3]\lim_{t\to\infty}x_H=\lim_{t\to\infty}e^{-\frac{t}{2}}\(C_1.\cos\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\)+C_2.\sen\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\) \)=0[/tex3]
No entanto, veja que nada podemos afirmar sobre a solução particular uma vez que a única coisa que sabemos é que ela é limitada por ser uma combinação linear de seno e cosseno.
[tex3]\lim_{t\to\infty}x_P=\lim_{t\to\infty}-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)=?[/tex3]
Portanto, a solução no estado estacionário será apenas a solução particular a determinar. Ou seja, essa parcela ainda dependerá do tempo após ter decorrido muito tempo desde o início do processo.
Solução estacionária:
[tex3]x(t)=x_P[/tex3]
[tex3]x(t)=-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)[/tex3]
Vamos usar a seguinte relação trigonométrica para determinarmos o máximo valor de x e consequentemente o valor da amplitude.
[tex3]A\cos(y)+B\sen(y)=\sqrt{A^2+B^2}\cos(y+\alpha)[/tex3] onde [tex3]\alpha = \arctan(B/A)[/tex3]
Usando ela na nossa equação, tem-se:
[tex3]x(t)=\sqrt{(-0,694)^2+(0,570)^2}\cos(\sqrt{2}t+\alpha)[/tex3] onde [tex3]\alpha = \arctan(0,570/(-0,694))[/tex3]
[tex3]x(t)=0,90.\cos(\sqrt{2}t+\alpha)[/tex3]
Daí, fica fácil de ver que o valor máximo será quando [tex3]\cos(\sqrt{2}t+\alpha)=1[/tex3] . Com isso, fica claro, também, o valor de máximo de x, que é a amplitude pedida no problema.
[tex3]\boxed{\boxed{x(t)_{max}=0,90\,m}}[/tex3]
Muitas universidades dão as fórmulas desse tipo de problema na prova ou pedem para o aluno decorar isso. No entanto, basta ter estudado bem EDOs na parte de matemática e também entender o que está acontecendo com o problema para montar uma modelagem. Se decorar a fórmula, basta mudar um simples detalhe para todo o problema ficar errado. Veja que na solução da homogênea, poderiam haver outras duas opções para o delta (discriminante) das raízes do polinomio característico: maior que 0 e igual a 0. Isso mudaria drasticamente a fórmula final do problema apenas alterando os valores dos coeficientes da EDO.
Esse é um bom problema e dá pra explorar bastante ele. Eu tentei explicar todos os porquês que me vieram a mente. Caso tenha ficado em dúvida em alguma etapa, pode perguntar.
Vou começar resolvendo a equação homogênea relacionada:
[tex3]10\ddot{x} + 10\dot{x} + 2,8x = 0[/tex3]
Devido a todos os termos serem constantes. Vamos chegar no polinômio característico ao supor que a solução é da forma [tex3]x_H=C.e^{rt}[/tex3] com [tex3]C\in\mathbb{R}^*[/tex3]
Substituindo na EDO, tem-se:
[tex3]10.C.r^2.e^{rt}\ddot{x} + 10.C.r.e^{rt}\dot{x} + 2,8.C.e^{rt} = 0[/tex3]
[tex3]C.e^{rt}\(10.r^2 + 10.r+ 2,8\) = 0[/tex3]
Como [tex3]C.e^{rt}\neq 0[/tex3] , tem-se:
[tex3]10.r^2 + 10.r+ 2,8 = 0[/tex3]
Resolvendo essa equação do segundo grau, chega-se às seguintes raízes:
[tex3]r=\frac{-10\pm 2\sqrt{3}i}{20}[/tex3]
Dado este resultado, podemos escrever a solução na forma trigonométrica.
Obs: Escrever na forma exponencial não esta errado, mas escrevendo na forma trigonométrica vai facilitar a nossa conclusão mais a frente.
Assim,
[tex3]x_H=e^{-\frac{10}{20}t}\(C_1.\cos\(\frac{2\sqrt{3}}{20}t\)+C_2.\sen\(\frac{2\sqrt{3}}{20}t\) \);\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}[/tex3]
[tex3]\boxed{x_H=e^{-\frac{t}{2}}\(C_1.\cos\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\)+C_2.\sen\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\) \)}[/tex3]
Solução particular:
Já que o termo independente é trigonométrico, vamos resolver essa etapa pelo meio dos coeficientes indeterminados pro caso trigonométrico.
Obs: Existem outros jeitos de encontrar essa solução e ela não é única. No entanto, apesar de não ser única, todas as encontradas satisfazem o problema.
Seja [tex3]x_P=A.\cos(\sqrt{2}t)+B.\sen(\sqrt{2}t)[/tex3] com [tex3]A,B\in\mathbb{R}^*[/tex3]
Substituindo na EDO, tem-se:
[tex3]10\ddot{x} + 10\dot{x} + 2.8x = 20 cos (\sqrt{2}t)[/tex3]
[tex3]10\( -2.A.\cos(\sqrt{2}t)-2B.\sen(\sqrt{2}t) \) + 10\( -\sqrt{2}A.\sen(\sqrt{2}t)+\sqrt{2}B.\cos(\sqrt{2}t) \) + 2.8\( A.\cos(\sqrt2t)+B.\sen(\sqrt2t) \) = 20 cos (\sqrt{2}t)[/tex3]
[tex3]\( -20A+10\sqrt{2}B+2,8A-20\)\cdot\cos\(\sqrt{2}t\)+\( -20B-10\sqrt{2}A+2,8B\)\cdot\sen\(\sqrt{2}t\)=0[/tex3]
Sabemos que as funções seno e cosseno são linearmente independentes. Portanto, para essa relação valer para qualquer valor de "t", os dois coeficientes da equação acima devem ser nulos.
Deste modo, chegamos ao seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
-20A+10\sqrt{2}B+2,8A-20=0 \\
-20B-10\sqrt{2}A+2,8B=0
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo esse sistema, chegamos aos seguintes resultados aproximados para A e B:
[tex3]A=-0,694[/tex3]
[tex3]B=0,570[/tex3]
Deste modo, a solução particular será dada pela seguinte expressão:
[tex3]\boxed{x_P=-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)}[/tex3]
Daí, a solução geral será dada por
[tex3]x=x_P+x_H[/tex3]
[tex3]\boxed{x(t)=-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)+e^{-\frac{t}{2}}\(C_1.\cos\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\)+C_2.\sen\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\) \)}[/tex3]
O problema pediu a amplitude no estado estacionário. Ou seja, após o término do estado transiente.
Para ver como a expressão ficará, basta ver como fica a equação depois de muito tempo. Ou seja, [tex3]\lim_{t\to\infty}x(t)[/tex3] .
Veja que na solução homogênea tem multiplicado uma função exponencial decrescente e um combinação linear de seno e cosseno, que é limitada.
Portanto, para a solução homogênea, teríamos:
[tex3]\lim_{t\to\infty}x_H=\lim_{t\to\infty}e^{-\frac{t}{2}}\(C_1.\cos\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\)+C_2.\sen\(\frac{\sqrt{3}}{10}t\) \)=0[/tex3]
No entanto, veja que nada podemos afirmar sobre a solução particular uma vez que a única coisa que sabemos é que ela é limitada por ser uma combinação linear de seno e cosseno.
[tex3]\lim_{t\to\infty}x_P=\lim_{t\to\infty}-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)=?[/tex3]
Portanto, a solução no estado estacionário será apenas a solução particular a determinar. Ou seja, essa parcela ainda dependerá do tempo após ter decorrido muito tempo desde o início do processo.
Solução estacionária:
[tex3]x(t)=x_P[/tex3]
[tex3]x(t)=-0,694.\cos(\sqrt{2}t)+0,570.\sen(\sqrt{2}t)[/tex3]
Vamos usar a seguinte relação trigonométrica para determinarmos o máximo valor de x e consequentemente o valor da amplitude.
[tex3]A\cos(y)+B\sen(y)=\sqrt{A^2+B^2}\cos(y+\alpha)[/tex3] onde [tex3]\alpha = \arctan(B/A)[/tex3]
Usando ela na nossa equação, tem-se:
[tex3]x(t)=\sqrt{(-0,694)^2+(0,570)^2}\cos(\sqrt{2}t+\alpha)[/tex3] onde [tex3]\alpha = \arctan(0,570/(-0,694))[/tex3]
[tex3]x(t)=0,90.\cos(\sqrt{2}t+\alpha)[/tex3]
Daí, fica fácil de ver que o valor máximo será quando [tex3]\cos(\sqrt{2}t+\alpha)=1[/tex3] . Com isso, fica claro, também, o valor de máximo de x, que é a amplitude pedida no problema.
[tex3]\boxed{\boxed{x(t)_{max}=0,90\,m}}[/tex3]
Muitas universidades dão as fórmulas desse tipo de problema na prova ou pedem para o aluno decorar isso. No entanto, basta ter estudado bem EDOs na parte de matemática e também entender o que está acontecendo com o problema para montar uma modelagem. Se decorar a fórmula, basta mudar um simples detalhe para todo o problema ficar errado. Veja que na solução da homogênea, poderiam haver outras duas opções para o delta (discriminante) das raízes do polinomio característico: maior que 0 e igual a 0. Isso mudaria drasticamente a fórmula final do problema apenas alterando os valores dos coeficientes da EDO.
Esse é um bom problema e dá pra explorar bastante ele. Eu tentei explicar todos os porquês que me vieram a mente. Caso tenha ficado em dúvida em alguma etapa, pode perguntar.
Última edição: erihh3 (Sáb 26 Jan, 2019 03:56). Total de 1 vez.
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