Física II ⇒ Demonstração utiizando a identidade de Euler Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Considere uma função do tipo [tex3]\psi (x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}+B_{0}e^{-i(kx-\omega t)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\psi (x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}+B_{0}e^{-i(kx-\omega t)}[/tex3]

[tex3]A_{0} \in \mathbb{R} [/tex3]

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[tex3]A_{0} \in \mathbb{R} [/tex3]

e [tex3]B_{0}\in \mathbb{R})[/tex3]

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[tex3]B_{0}\in \mathbb{R})[/tex3]

, mostre, usando a identidade de Euler, que seu módulo quadrado é real

[jedi]

[tex3]\psi (x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}+B_{0}e^{-i(kx-\omega t)}[/tex3]

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[tex3]\psi (x,t)=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}+B_{0}e^{-i(kx-\omega t)}[/tex3]

[tex3]=A_0\cos(kx-wt)+i.A_0\sen(kx-wt)+B_0\cos(kx-wt)-i.B_0\sen(kx-wt)[/tex3]

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[tex3]=A_0\cos(kx-wt)+i.A_0\sen(kx-wt)+B_0\cos(kx-wt)-i.B_0\sen(kx-wt)[/tex3]

[tex3]=A_0\cos(kx-wt)+B_0\cos(kx-wt)+i.[A_0\sen(kx-wt)-B_0\sen(kx-wt)][/tex3]

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[tex3]=A_0\cos(kx-wt)+B_0\cos(kx-wt)+i.[A_0\sen(kx-wt)-B_0\sen(kx-wt)][/tex3]

[tex3]|\psi(x,t)|^2=\left[A_0\cos(kx-wt)+B_0\cos(kx-wt)\right]^2+\left[A_0\sen(kx-wt)-B_0\sen(kx-wt)\right]^2[/tex3]

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[tex3]|\psi(x,t)|^2=\left[A_0\cos(kx-wt)+B_0\cos(kx-wt)\right]^2+\left[A_0\sen(kx-wt)-B_0\sen(kx-wt)\right]^2[/tex3]

[tex3]|\psi(x,t)|^2=A_0^2\cos^2(kx-wt)+2.A_0.B_0\cos(kx-wt)\cos(kx-wt)+B_0^2\cos^2(kx-wt)+A_0^2\sen^2(kx-wt)-2A_0B_0\sen(kx-wt)\sen(kx-wt)+B_0^2\sen^2(kx-wt)[/tex3]

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[tex3]|\psi(x,t)|^2=A_0^2\cos^2(kx-wt)+2.A_0.B_0\cos(kx-wt)\cos(kx-wt)+B_0^2\cos^2(kx-wt)+A_0^2\sen^2(kx-wt)-2A_0B_0\sen(kx-wt)\sen(kx-wt)+B_0^2\sen^2(kx-wt)[/tex3]

[tex3]|\psi(x,t)|^2=A_0^2[\cos^2(kx-wt)+\sen^2(kx-wt)]+2.A_0.B_0[\cos(kx-wt)\cos(kx-wt)-\sen(kx-wt)\sen(kx-wt)]+B_0^2[\cos^2(kx-wt)+\sen^2(kx-wt)][/tex3]

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[tex3]|\psi(x,t)|^2=A_0^2[\cos^2(kx-wt)+\sen^2(kx-wt)]+2.A_0.B_0[\cos(kx-wt)\cos(kx-wt)-\sen(kx-wt)\sen(kx-wt)]+B_0^2[\cos^2(kx-wt)+\sen^2(kx-wt)][/tex3]

[tex3]|\psi(x,t)|^2=A_0^2+2.A_0.B_0\cos(2kx-2wt)+B_0^2[/tex3]

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[tex3]|\psi(x,t)|^2=A_0^2+2.A_0.B_0\cos(2kx-2wt)+B_0^2[/tex3]

como A_0 e B_0 são número reais e o cos(2kx-2wt) é um número real entre -1 e 1 então essa expressão é igual a um número real

[gerlanmatfis]

muito obrigado, amigo!