Física IITeoria cinética dos gases ideais Tópico resolvido

Termologia, Óptica e Ondas.

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Jan 2018 08 17:02

Teoria cinética dos gases ideais

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

Na Teoria Cinética dos gases ideais, uma das proposições é que todas as moléculas apresentam a mesma velocidade média v e a mesma energia cinética ec. É possível demonstrar que a energia cinética média ec de cada molécula relaciona-se com a temperatura absoluta através da fórmula:

[tex3]e_c=\frac{3}{2}kT[/tex3]

Sendo k a constante de Boltzmann que é o quociente entre a constante universal dos gases perfeitos e o número de Avogadro.

Como demonstrar essa fórmula: [tex3]e_c=\frac{3}{2}kT[/tex3] ?




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LucasPinafi
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Jan 2018 09 10:24

Re: Teoria cinética dos gases ideais

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Vou aproveitar seu post para deixar registrado aqui no TTB algumas teorias sobre a teoria cinética dos gases.
Inicialmente, deve-se notar que a teoria cinética dos gases usa como modelo do gás ideal. Para que possamos trabalhar matematicamente, faremos as seguintes suposições.
***************************************************************************************************
1) O número de moléculas do gás é grande e a separação média entre elas é grande quando comparada com suas dimensões.
Isso quer dizer que estaremos trabalhando com um número enorme de partículas pontuais.
2) As moléculas obedecem as leis de Newton, mas como um todo se move aleatoriamente.
Isso quer dizer que nenhuma direção é privilegiada sobre as demais. Assim, em um dado instante não esperamos medir que todas as partículas estejam se movendo para a esquerda, por exemplo.
3) As moléculas interagem entre si por meio de curto alcance durante as colisões uma com as outras, sendo tais colisões elásticas.
Isso quer dizer que não devemos nos preocupar com a força de atração repulsão entre as partículas quando as partículas não estão em contatos. Isso nos levará a simplificações importantes nos cálculos.
4) As moléculas colidem com a parede do recipiente elasticamente.
Afinal, se o choques não fossem, em média, elásticos, perceberíamos que o gás iria perdendo energia com o passar do tempo e a pressão deveria cair. Mas não é isso que é observado experimentalmente ;)
5) O gás em consideração é uma substância pura. Assim, todas as moléculas são idênticas.
Fonte: Princípios de Física, Vol. 2
***************************************************************************************************
Vejamos agora consequências desses postulados. Consideremos, inicialmente, um gás constituído por [tex3]N[/tex3] partículas que se movem somente sobre o eixo [tex3]x[/tex3] . Sim, parece absurdo supor um gás que se move apenas em uma dimensão, mas isso é apenas para simplificar os cálculos. Posteriormente vamos remover essa condição.
Assim, suponha que uma dada partícula esteja se movendo para a direita e colida elasticamente com a parede do recipiente. Suponha que antes da colisão sua velocidade seja [tex3]v_x[/tex3] . Como a colisão é elástica e a massa da parede é muito maior do que a da partícula, segue que a velocidade da partícula após a colisão será [tex3]-v_x[/tex3] . Assim, a variação da quantidade de movimento será
[tex3]\Delta p_x = - mv_x - mv_x = - 2mv_x[/tex3]
sendo [tex3]m[/tex3] a massa da partícula. Suponha que a colisão dure um tempo [tex3]\Delta t[/tex3] . Assim, todas as partículas que estiverem a uma distância menor ou igual a [tex3]d= v_x \Delta t[/tex3] da parede estarão aptas para também colidir com a parede. Seja [tex3]A[/tex3] a área da parede. Assim, o volume que é englobado será
[tex3]V' = v_x \Delta t A[/tex3]
Como esperamos que o gás esteja uniformemente distribuído, segue que se V é o volume do recipiente, então
[tex3]N' = \frac{Av_x \Delta t}{V}\times N[/tex3]
onde N' é o número de moléculas dentro do volume de partículas que poderão colidir com a parede no intervalo de tempo [tex3]\Delta t[/tex3] . Mas, como nenhum sentido é preferido sobre os demais, devemos esperar que metade das partículas estejam, em um dado momento, se movendo para a esquerda e a outra para a direita. As partículas que se movem para a esquerda não podem, logicamente, colidir com a parede que está à direita. Portanto, devemos corrigir o resultado obtido para N' acima:
[tex3]N' = \frac{Av_x\Delta t}{2V}\times N[/tex3]
O número N' representa, corretamente, o número de colisões no intervalo de tempo [tex3]\Delta t[/tex3] . Agora, vamos voltar à equação da mudança do momento: [tex3]\Delta p = - mv_x[/tex3] . Como devemos levar em conta as colisões das N' partículas, a mudança total no momento será:
[tex3]\Delta p = - N' mv_x = - \frac{Av_xN\Delta t}{2V} 2mv_x = - \frac{Amv_x ^2 N\Delta t}{V} \Longleftrightarrow \frac{\Delta p}{\Delta t} = - \frac{Amv_x^2 N}{V}[/tex3]
Da 2° lei de Newton, sabemos que [tex3]F= \frac{\Delta p}{\Delta t}[/tex3] . Assim, o termo anterior indica a força média que a parede exerce sobre as partículas. A força que as partículas exerceram na parede é obtida pela 3° lei de Newton: [tex3]F_{\text{partículas, parede}} = - F_{\text{parede, partículas}}[/tex3] . Portanto, a força F exercida SOBRE a parede é
[tex3]F= \frac{Amv_x^2 N}{V}[/tex3]
A pressão P é a força por unidade de área:
[tex3]P = \frac F A = \frac{mv_x^2N}{V}[/tex3]
Veja que em todos os momentos estamos supondo que as partículas se movem com a mesma velocidade. Mas isso não é verdade. Nem precisa ser! De fato, podemos muito bem usar na expressão anterior a média da velocidade das partículas. Assim, P fica corretamente escrita como,
[tex3]P = \frac{mN}{V} \overline{v}_x^2[/tex3]
sendo [tex3]\overline v _x[/tex3] a média das velocidades no eixo [tex3]x[/tex3] . Também não parece ser verdade que todas as partículas se move sobre o eixo [tex3]x[/tex3] . E de fato não é! Uma partícula qualquer tem, em um dado instante, velocidade [tex3]v[/tex3] dada por
[tex3]v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2[/tex3]
sendo [tex3]v_x, v_y, v_z[/tex3] as componentes, respectivamente, no eixo x, y e z. Como esperamos que nenhuma direção seja privilegiada sobre as demais, segue que [tex3]v_x = v_y =v_z[/tex3] e assim, [tex3]v_x^2 = v_y^2= v_y^2 = \frac 1 3 v^2 [/tex3] . Tomando as médias, segue que [tex3]\overline v_x^2 = \overline v_y^2 = \overline v_z^2 = \frac 1 3 \overline v^2[/tex3] . Assim, podemos escrever o seguinte resultado:
[tex3]PV = \frac 1 3 Nm \overline v^2[/tex3]
Por fim, podemos escrever N de modo mais simplificado. Sendo [tex3]n[/tex3] o número de mols, [tex3]N=nN_A [/tex3] sendo [tex3]N_A[/tex3] o número de Avogadro. Assim, [tex3]mN= nN_A m =nM[/tex3] sendo M a massa molar. Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{PV = \frac 1 3 nM \overline v^2}}[/tex3]
Para relacionar isso com a energia cinética, usamos a equação [tex3]e_c = \frac 1 2 M v^2 [/tex3] e a equação dos gases ideais [tex3]pV= nRT[/tex3] . Veja:
[tex3]nRT = \frac{1}{3} nM \overline v^2 = \frac{2}{3}n e_c \Longrightarrow e_c = \frac 3 2 RT [/tex3]
é lógico que essa expressão é para um mol de gás. Para uma única molécula, tu divide pela constante de Avogadro. O número [tex3]k_B = R/N_A[/tex3] é a constante de Boltzmann.



Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:19677)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jan 2018 11 21:16

Re: Teoria cinética dos gases ideais

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

Excelente resposta, beijos!




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