Seja C um fio delgado, situado no primeiro octante, cuja forma é dada pela interseção das superfícies 𝑥^2 +𝑦^2 +𝑧^2 = 2𝑦,𝑦 +𝑧 = 2, que liga o ponto (0,2,0) a (0,1,1).
a) Esboce e parametrize C. b) Calcule a massa de 𝐶 se a densidade em um ponto 𝑃 é proporcional a distancia de 𝑃 ao plano 𝑦𝑧.
Física II ⇒ calculo 2 com aplicação a física Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2017
02
10:04
Re: calculo 2 com aplicação a física
[tex3]z+y=2[/tex3]
[tex3]z=2-y[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+(2-y)^2=2y[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+y^2-4y+4=2y[/tex3]
[tex3]x^2+2y^2-6y+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2(y^2-3y)+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2\left(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2\left(y^2-3y+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{2}+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]x^2+\left(\sqrt2\left(y-\frac{3}{2}\right)\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2[/tex3]
[tex3]x=\frac{1}{\sqrt2}\sen(t)[/tex3]
[tex3]\sqrt2\left(y-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\cos(t)[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(t)[/tex3]
a distância do ponto ao plano yz é igual sua coordenada em x, como a densidade é proporcional a essa distância ela pode ser expressa por [tex3]d=cx[/tex3] onde c é uma constante.
a massa então será dada pela integral de linha do comprimento vezes a densidade
[tex3]\int_L \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}.cx.dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(t)\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\sen(t)\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sen(t)\right)^2}.c.\frac{1}{2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2}\cos^2(t)+\frac{1}{4}\sen^2(t)+\frac{1}{4}\sen^2(t)}.c.\frac{1}{2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos^2(t)+\sen^2(t)\right)^2}.c.\frac{1}{2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} c.\frac{1}{2\sqrt2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]=-c.\frac{1}{2\sqrt2}\cos(t)\Bigg|_{0}^{\pi}[/tex3]
[tex3]=c.\frac{1}{\sqrt2}[/tex3]
[tex3]z=2-y[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+(2-y)^2=2y[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+y^2-4y+4=2y[/tex3]
[tex3]x^2+2y^2-6y+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2(y^2-3y)+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2\left(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2\left(y^2-3y+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{2}+4=0[/tex3]
[tex3]x^2+2\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]x^2+\left(\sqrt2\left(y-\frac{3}{2}\right)\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2[/tex3]
[tex3]x=\frac{1}{\sqrt2}\sen(t)[/tex3]
[tex3]\sqrt2\left(y-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\cos(t)[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(t)[/tex3]
a distância do ponto ao plano yz é igual sua coordenada em x, como a densidade é proporcional a essa distância ela pode ser expressa por [tex3]d=cx[/tex3] onde c é uma constante.
a massa então será dada pela integral de linha do comprimento vezes a densidade
[tex3]\int_L \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}.cx.dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(t)\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\sen(t)\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sen(t)\right)^2}.c.\frac{1}{2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2}\cos^2(t)+\frac{1}{4}\sen^2(t)+\frac{1}{4}\sen^2(t)}.c.\frac{1}{2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos^2(t)+\sen^2(t)\right)^2}.c.\frac{1}{2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]\int_{0}^{\pi} c.\frac{1}{2\sqrt2}\sen(t).dt[/tex3]
[tex3]=-c.\frac{1}{2\sqrt2}\cos(t)\Bigg|_{0}^{\pi}[/tex3]
[tex3]=c.\frac{1}{\sqrt2}[/tex3]
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gerlanmatfis 
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Set 2017
02
12:00
Re: calculo 2 com aplicação a física
Porfessor, onde está a parametrizaçao?
.... o senhor me mandar o escboço que a questão pede, por favor
.... o senhor me mandar o escboço que a questão pede, por favor
Set 2017
02
13:38
Re: calculo 2 com aplicação a física
a parametrização são essas três equações
[tex3]x=\frac{1}{\sqrt2}\sen(t)[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(t)[/tex3]
o esboço é meio complicado porque é em 3D, mas é a intersecção entre uma esfera de centro (0,1,0) e raio 1 e um plano que corta o eixo z em z=2 e o eixo y em y=2, tentei fazer o esboço representando o fio em vermelho e o plano em cinza
[tex3]x=\frac{1}{\sqrt2}\sen(t)[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(t)[/tex3]
o esboço é meio complicado porque é em 3D, mas é a intersecção entre uma esfera de centro (0,1,0) e raio 1 e um plano que corta o eixo z em z=2 e o eixo y em y=2, tentei fazer o esboço representando o fio em vermelho e o plano em cinza
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gerlanmatfis
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Set 2017
02
15:30
Re: calculo 2 com aplicação a física
Muito obrigado, agora vendo a resolução irei estudar para prova segunda feira! 
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