Física II ⇒ (SOIF 2016) Termodinâmica, fenômenos de transporte Tópico resolvido
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00:02
(SOIF 2016) Termodinâmica, fenômenos de transporte
Dois recipientes iguais, cada um com volume [tex3]V,[/tex3]
estão conectados com um tubo de comprimento [tex3]L[/tex3]
e seção de área [tex3]A[/tex3]
pequena [tex3](LA \ll V).[/tex3]
Inicialmente no primeiro recipiente contém uma mistura de monóxico de carbono, [tex3]\text{CO},[/tex3]
a uma pressão parcial [tex3]P_0,[/tex3]
e o nitrogênio [tex3]\text{N}_2[/tex3]
a pressão parcial de [tex3](P_T-P_0).[/tex3]
O segundo recipiente contém somente nitrogênio a pressão de [tex3]P_T.[/tex3]
O coeficiente de difusão do [tex3]\text{CO}[/tex3]
em [tex3]\text{N}_2[/tex3]
ou [tex3]\text{N}_2[/tex3]
em [tex3]\text{CO}[/tex3]
é [tex3]D.[/tex3]
Obtenha a pressão parcial do [tex3]\text{CO}[/tex3]
no primeiro recipiente em função do tempo.
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παθμ
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00:10
Re: (SOIF 2016) Termodinâmica, fenômenos de transporte
Solução:
A densidade de corrente de moléculas em difusão é dada por [tex3]\vec{J}=-D \nabla \eta,[/tex3] onde [tex3]\eta[/tex3] é a concentração de partículas. No caso, a difusão ocorre somente em uma dimensão, e o gradiente é [tex3]|\nabla \eta|=\frac{d \eta}{dx} \approx \frac{\Delta \eta}{\Delta x}=\frac{\Delta \eta}{L}.[/tex3]
Então a corrente (moléculas por unidade de tempo) de CO indo do recipiente 1 para o recipiente 2 é [tex3]I=\frac{DA \Delta \eta}{L}.[/tex3]
Pela conservação do número de moléculas, sendo [tex3]\eta(t)[/tex3] a concentração no recipiente 1, a concentração no recipiente 2 deve ser [tex3]2 \eta(t) - \eta_0,[/tex3] sendo [tex3]\eta_0[/tex3] a concentração inicial em 1.
Daí, [tex3]\frac{1}{V} \frac{d N}{dt}=\frac{d\eta}{dt}=-\frac{DA(2\eta - \eta_0)}{VL} \Longrightarrow \int_{\eta_0}^{\eta(t)}\frac{d\eta}{2\eta-\eta_0}=-\frac{DA}{VL}\int_{0}^{t}dt.[/tex3]
Para calcular a integral da esquerda basta fazer a substituição [tex3]u=2 \eta - \eta_0 \Longrightarrow d \eta = \frac{du}{2}.[/tex3] Ficamos com:
[tex3]\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\eta}{\eta_0}-1\right)=-\frac{DAt}{VL} \Longrightarrow \eta(t)=\frac{\eta_0}{2}\left(1+\exp\left(-\frac{2DAt}{VL}\right)\right).[/tex3]
À temperatura constante (o enunciado esqueceu de dizer que o sistema é mantido à temperatura constante...), a pressão parcial é proporcional à concentração, então:
[tex3]\boxed{P(t)=\frac{P_0}{2}\left(1+\exp\left(-\frac{2DAt}{VL}\right)\right)}[/tex3]
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"
A densidade de corrente de moléculas em difusão é dada por [tex3]\vec{J}=-D \nabla \eta,[/tex3] onde [tex3]\eta[/tex3] é a concentração de partículas. No caso, a difusão ocorre somente em uma dimensão, e o gradiente é [tex3]|\nabla \eta|=\frac{d \eta}{dx} \approx \frac{\Delta \eta}{\Delta x}=\frac{\Delta \eta}{L}.[/tex3]
Então a corrente (moléculas por unidade de tempo) de CO indo do recipiente 1 para o recipiente 2 é [tex3]I=\frac{DA \Delta \eta}{L}.[/tex3]
Pela conservação do número de moléculas, sendo [tex3]\eta(t)[/tex3] a concentração no recipiente 1, a concentração no recipiente 2 deve ser [tex3]2 \eta(t) - \eta_0,[/tex3] sendo [tex3]\eta_0[/tex3] a concentração inicial em 1.
Daí, [tex3]\frac{1}{V} \frac{d N}{dt}=\frac{d\eta}{dt}=-\frac{DA(2\eta - \eta_0)}{VL} \Longrightarrow \int_{\eta_0}^{\eta(t)}\frac{d\eta}{2\eta-\eta_0}=-\frac{DA}{VL}\int_{0}^{t}dt.[/tex3]
Para calcular a integral da esquerda basta fazer a substituição [tex3]u=2 \eta - \eta_0 \Longrightarrow d \eta = \frac{du}{2}.[/tex3] Ficamos com:
[tex3]\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\eta}{\eta_0}-1\right)=-\frac{DAt}{VL} \Longrightarrow \eta(t)=\frac{\eta_0}{2}\left(1+\exp\left(-\frac{2DAt}{VL}\right)\right).[/tex3]
À temperatura constante (o enunciado esqueceu de dizer que o sistema é mantido à temperatura constante...), a pressão parcial é proporcional à concentração, então:
[tex3]\boxed{P(t)=\frac{P_0}{2}\left(1+\exp\left(-\frac{2DAt}{VL}\right)\right)}[/tex3]
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"
Última edição: παθμ (24 Fev 2024, 00:19). Total de 6 vezes.
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