Física II

Mensagem não lida por **παθμ** » 24 Fev 2024, 00:02

Dois recipientes iguais, cada um com volume [tex3]V,[/tex3] estão conectados com um tubo de comprimento [tex3]L[/tex3] e seção de área [tex3]A[/tex3] pequena [tex3](LA \ll V).[/tex3] Inicialmente no primeiro recipiente contém uma mistura de monóxico de carbono, [tex3]\text{CO},[/tex3] a uma pressão parcial [tex3]P_0,[/tex3] e o nitrogênio [tex3]\text{N}_2[/tex3] a pressão parcial de [tex3](P_T-P_0).[/tex3] O segundo recipiente contém somente nitrogênio a pressão de [tex3]P_T.[/tex3] O coeficiente de difusão do [tex3]\text{CO}[/tex3] em [tex3]\text{N}_2[/tex3] ou [tex3]\text{N}_2[/tex3] em [tex3]\text{CO}[/tex3] é [tex3]D.[/tex3] Obtenha a pressão parcial do [tex3]\text{CO}[/tex3] no primeiro recipiente em função do tempo.

Mensagem não lida por **παθμ** » 24 Fev 2024, 00:10

Solução:

A densidade de corrente de moléculas em difusão é dada por [tex3]\vec{J}=-D \nabla \eta,[/tex3] onde [tex3]\eta[/tex3] é a concentração de partículas. No caso, a difusão ocorre somente em uma dimensão, e o gradiente é [tex3]|\nabla \eta|=\frac{d \eta}{dx} \approx \frac{\Delta \eta}{\Delta x}=\frac{\Delta \eta}{L}.[/tex3]

Então a corrente (moléculas por unidade de tempo) de CO indo do recipiente 1 para o recipiente 2 é [tex3]I=\frac{DA \Delta \eta}{L}.[/tex3]

Pela conservação do número de moléculas, sendo [tex3]\eta(t)[/tex3] a concentração no recipiente 1, a concentração no recipiente 2 deve ser [tex3]2 \eta(t) - \eta_0,[/tex3] sendo [tex3]\eta_0[/tex3] a concentração inicial em 1.

Daí, [tex3]\frac{1}{V} \frac{d N}{dt}=\frac{d\eta}{dt}=-\frac{DA(2\eta - \eta_0)}{VL} \Longrightarrow \int_{\eta_0}^{\eta(t)}\frac{d\eta}{2\eta-\eta_0}=-\frac{DA}{VL}\int_{0}^{t}dt.[/tex3]

Para calcular a integral da esquerda basta fazer a substituição [tex3]u=2 \eta - \eta_0 \Longrightarrow d \eta = \frac{du}{2}.[/tex3] Ficamos com:

[tex3]\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\eta}{\eta_0}-1\right)=-\frac{DAt}{VL} \Longrightarrow \eta(t)=\frac{\eta_0}{2}\left(1+\exp\left(-\frac{2DAt}{VL}\right)\right).[/tex3]

À temperatura constante (o enunciado esqueceu de dizer que o sistema é mantido à temperatura constante...), a pressão parcial é proporcional à concentração, então:

[tex3]\boxed{P(t)=\frac{P_0}{2}\left(1+\exp\left(-\frac{2DAt}{VL}\right)\right)}[/tex3]

Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"

Física II ⇒ (SOIF 2016) Termodinâmica, fenômenos de transporte Tópico resolvido

(SOIF 2016) Termodinâmica, fenômenos de transporte

Re: (SOIF 2016) Termodinâmica, fenômenos de transporte

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