Dois gases perfeitos com mesma pressão [tex3]P_i[/tex3]
e mesmo número de partículas [tex3]N,[/tex3]
mas em temperaturas diferentes [tex3]T_1[/tex3]
e [tex3]T_2[/tex3]
são confinados em duas repartições de volume [tex3]V_1[/tex3]
e [tex3]V_2.[/tex3]
A um momento as repartições são conectadas. Determine:
a) a variação da entropia depois do sistema entrar em equilíbrio.
b) a variação da entropia se [tex3]T_1=T_2.[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física II ⇒ (SOIF 2016) Termodinâmica Tópico resolvido
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παθμ
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Fev 2024
22
15:04
Re: (SOIF 2016) Termodinâmica
Solução:
Mesmo que um gás sofra um processo irreversível, nós podemos calcular a variação de entropia usando a equação de processos reversíveis, [tex3]T \; dS=dU+P \; dV.[/tex3] Isso se deve ao fato de que a entropia é uma função de estado.
Para um gás ideal, [tex3]U=nc_vT,[/tex3] onde [tex3]c_v[/tex3] é o calor específico molar a volume constante, e [tex3]P=\frac{nRT}{V}.[/tex3]
Então: [tex3]dS=n\left(c_v \frac{dT}{T}+R\frac{dV}{V}\right) \Longrightarrow \Delta S=n \left(c_v\ln(T/T_0)+R\ln(V/V_0)\right), [/tex3] após a integração.
Por falta de informação, deve-se assumir que o sistema é termicamente isolado, e como o volume do sistema não varia, a energia interna permanece constante. Como [tex3]U \propto nT:[/tex3] (assumindo também por falta de informação que os gases são da mesma espécie)
[tex3]nT_1+nT_2=2nT \Longrightarrow T=\frac{T_1+T_2}{2}.[/tex3]
Então:
[tex3]\Delta S_1=n\left[c_v\ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_1}\right)+R\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right)\right][/tex3]
[tex3]\Delta S_2=n\left[c_v\ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_2}\right)+R\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right)\right][/tex3]
A variação de entropia do sistema é a soma dessas duas:
[tex3]\Delta S=n\left[c_v \ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1T_2}\right)+R\ln\left(\frac{(V_1+V_2)^2}{V_1V_2}\right)\right].[/tex3]
Mas agora usando o fato de que as pressões iniciais dos dois gases são iguais, isto é, [tex3]V_1=\frac{nRT_1}{P}[/tex3] e [tex3]V_2=\frac{nRT_2}{P},[/tex3] temos [tex3]\frac{(V_1+V_2)^2}{V_1V_2}=\frac{(T_1+T_2)^2}{T_1T_2},[/tex3] e a resposta final fica:
[tex3]\boxed{\Delta S=n\left[c_v \ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1T_2}\right)+R\ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{T_1T_2}\right)\right]}[/tex3]
b) No caso em que [tex3]T_1=T_2=T,[/tex3] o primeiro termo da soma acima fica zero, enquanto [tex3]\ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{T_1T_2}\right)=\ln(4),[/tex3] então a variação de entropia nesse caso é:
[tex3]\boxed{\Delta S=nR \ln(4)}[/tex3]
À primeira vista, pode parecer estranho que a entropia do sistema aumenta nesse caso, pois, antes da abertura da válvula, as duas repartições tinham a mesma temperatura, a mesma pressão, o mesmo número de partículas e os mesmos volumes, daí parece que não precisa haver nenhuma mudança no sistema ao se abrir a válvula. Mas acontece que as partículas que inicialmente estavam restritas exclusivamente a uma das duas regiões, agora passam a ocupar as duas regiões, o que acarreta em um aumento na desordem do sistema.
Mesmo que um gás sofra um processo irreversível, nós podemos calcular a variação de entropia usando a equação de processos reversíveis, [tex3]T \; dS=dU+P \; dV.[/tex3] Isso se deve ao fato de que a entropia é uma função de estado.
Para um gás ideal, [tex3]U=nc_vT,[/tex3] onde [tex3]c_v[/tex3] é o calor específico molar a volume constante, e [tex3]P=\frac{nRT}{V}.[/tex3]
Então: [tex3]dS=n\left(c_v \frac{dT}{T}+R\frac{dV}{V}\right) \Longrightarrow \Delta S=n \left(c_v\ln(T/T_0)+R\ln(V/V_0)\right), [/tex3] após a integração.
Por falta de informação, deve-se assumir que o sistema é termicamente isolado, e como o volume do sistema não varia, a energia interna permanece constante. Como [tex3]U \propto nT:[/tex3] (assumindo também por falta de informação que os gases são da mesma espécie)
[tex3]nT_1+nT_2=2nT \Longrightarrow T=\frac{T_1+T_2}{2}.[/tex3]
Então:
[tex3]\Delta S_1=n\left[c_v\ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_1}\right)+R\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right)\right][/tex3]
[tex3]\Delta S_2=n\left[c_v\ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_2}\right)+R\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right)\right][/tex3]
A variação de entropia do sistema é a soma dessas duas:
[tex3]\Delta S=n\left[c_v \ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1T_2}\right)+R\ln\left(\frac{(V_1+V_2)^2}{V_1V_2}\right)\right].[/tex3]
Mas agora usando o fato de que as pressões iniciais dos dois gases são iguais, isto é, [tex3]V_1=\frac{nRT_1}{P}[/tex3] e [tex3]V_2=\frac{nRT_2}{P},[/tex3] temos [tex3]\frac{(V_1+V_2)^2}{V_1V_2}=\frac{(T_1+T_2)^2}{T_1T_2},[/tex3] e a resposta final fica:
[tex3]\boxed{\Delta S=n\left[c_v \ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1T_2}\right)+R\ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{T_1T_2}\right)\right]}[/tex3]
b) No caso em que [tex3]T_1=T_2=T,[/tex3] o primeiro termo da soma acima fica zero, enquanto [tex3]\ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{T_1T_2}\right)=\ln(4),[/tex3] então a variação de entropia nesse caso é:
[tex3]\boxed{\Delta S=nR \ln(4)}[/tex3]
À primeira vista, pode parecer estranho que a entropia do sistema aumenta nesse caso, pois, antes da abertura da válvula, as duas repartições tinham a mesma temperatura, a mesma pressão, o mesmo número de partículas e os mesmos volumes, daí parece que não precisa haver nenhuma mudança no sistema ao se abrir a válvula. Mas acontece que as partículas que inicialmente estavam restritas exclusivamente a uma das duas regiões, agora passam a ocupar as duas regiões, o que acarreta em um aumento na desordem do sistema.
Editado pela última vez por παθμ em 22 Fev 2024, 15:07, em um total de 3 vezes.
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παθμ
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Fev 2024
25
00:10
Re: (SOIF 2016) Termodinâmica
Errata:
A solução acima na verdade só seria válida se os gases fossem distinguíveis entre si. Se eles forem da mesma espécie, ou seja, indistinguíveis entre si, não se pode tratá-los como gases distintos, cada um com uma determinada pressão parcial, como mostrado acima (o conceito de entropia está relacionado ao número de microestados possíveis de um sistema, por isso o conceito de distinguibilidade é tão importante).
Ao invés disso, consideramos que cada uma das duas amostras alcançou uma temperatura final [tex3]\frac{T_1+T_2}{2}[/tex3] e permaneceu à mesma pressão [tex3]P[/tex3] (pois a pressão final da mistura é [tex3]P[/tex3] ).
Por isso, podemos considerar que cada gás sofreu um processo isobárico, sendo [tex3]\Delta S_1=nc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right)=nc_p \ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_1}\right)[/tex3] e [tex3]\Delta S_2= n c_p \ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_2}\right).[/tex3]
Então a variação de entropia na mistura foi [tex3]\Delta S= \Delta S_1 + \Delta S_2=\boxed{nc_p \ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1T_2}\right)}[/tex3]
E a resposta do item b) fica claramente [tex3]\boxed{\Delta S =0}[/tex3]
A solução acima na verdade só seria válida se os gases fossem distinguíveis entre si. Se eles forem da mesma espécie, ou seja, indistinguíveis entre si, não se pode tratá-los como gases distintos, cada um com uma determinada pressão parcial, como mostrado acima (o conceito de entropia está relacionado ao número de microestados possíveis de um sistema, por isso o conceito de distinguibilidade é tão importante).
Ao invés disso, consideramos que cada uma das duas amostras alcançou uma temperatura final [tex3]\frac{T_1+T_2}{2}[/tex3] e permaneceu à mesma pressão [tex3]P[/tex3] (pois a pressão final da mistura é [tex3]P[/tex3] ).
Por isso, podemos considerar que cada gás sofreu um processo isobárico, sendo [tex3]\Delta S_1=nc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right)=nc_p \ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_1}\right)[/tex3] e [tex3]\Delta S_2= n c_p \ln\left(\frac{T_1+T_2}{2T_2}\right).[/tex3]
Então a variação de entropia na mistura foi [tex3]\Delta S= \Delta S_1 + \Delta S_2=\boxed{nc_p \ln\left(\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1T_2}\right)}[/tex3]
E a resposta do item b) fica claramente [tex3]\boxed{\Delta S =0}[/tex3]
Editado pela última vez por παθμ em 25 Fev 2024, 11:27, em um total de 1 vez.
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