Física II

Duas partículas (m₁ e m₂) de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal, presas por molas de constante elástica k a paredes verticais e ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica K >> k. Suponha que o sistema está em movimento e os blocos estão oscilando e os deslocamentos da posição de equilíbrio os deslocamentos x₁(t) da m₁ e x₂(t) da m₂.

(b) Ache uma expressão geral para os deslocamentos das duas partículas das respectivas posições de equilibro, para um t > 0.

Obs: Eu postei a letra (a) desse mesmo exercício no site aqui também, mas uma pessoa já me ajudou a entender como resolve-la

Mensagem não lida por **παθμ** » 25 Out 2023, 15:22

Sabenada,

Vamos escrever as equações diferenciais acopladas, que vêm da segunda lei de Newton:

[tex3]m\ddot{x_1}=-kx_1-Kx_1+Kx_2.[/tex3]

[tex3]m\ddot{x_2}=-kx_2-Kx_2+Kx_1.[/tex3]

Somando as duas equações: [tex3]m(\ddot{x_1}+\ddot{x_2})=-k(x_1+x_2).[/tex3]

Subtraindo as duas equações: [tex3]m(\ddot{x_1}-\ddot{x_2})=-k(x_1-x_2)-2K(x_1-x_2).[/tex3]

Usando a aproximação [tex3]K>>k,[/tex3] temos: [tex3]m(\ddot{x_1}-\ddot{x_2})=-2K(x_1-x_2).[/tex3]

Assim, as equações gerais são:

[tex3]\boxed{x_1(t)+x_2(t)=A \sin(\omega_1 t)+ B \cos(\omega_1t)}[/tex3]

[tex3]\boxed{x_1(t)-x_2(t)=C \sin( \omega_2 t)+ D \cos( \omega_2 t)}[/tex3]

Onde [tex3]\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}}[/tex3] e [tex3]\omega_2=\sqrt{\frac{2K}{m}}.[/tex3]

Para isolar especificamente [tex3]x_1(t)[/tex3] ou [tex3]x_2(t),[/tex3] basta somar ou subtrair as equações respectivamente.

Física II ⇒ Movimento Periódico e Oscilação Tópico resolvido

Movimento Periódico e Oscilação

Re: Movimento Periódico e Oscilação

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