Física II ⇒ UFC-CE Gases perfeitos

[Deb]

(UFC -CE) Um cilindro de área de seção reta S e comprimento L, completamente isolado, é dividido em partições A e B, ambas de volumes iguais, por uma parede diatérmica, móvel e
impermeável. Cada partição é preenchida com um gás ideal, de
modo que a partição A possui o dobro do número de mols da partição B. Ambas as partições encontram-se em uma mesma temperatura T durante o processo. Despreze quaisquer efeitos de
atrito e, quando o sistema estiver em equilíbrio, determine:
a) os volumes das partições A e B em função de S e L.
b) o módulo do deslocamento da parede em função de L.

Resposta: a)Va=2/3SL e Vb=1/3SL; b)L/6

[joaopcarv]

Para a partição [tex3]\mathsf{A}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{A}[/tex3]

, temos o dobro do número de mols da partição [tex3]\mathsf{B}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{B}[/tex3]

, ou seja, [tex3]\mathsf{n_A \ = \ 2 \cdot n_B.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n_A \ = \ 2 \cdot n_B.}[/tex3]

As duas partições são mantidas à mesma temperatura [tex3]\mathsf{T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T}[/tex3]

. Em equilíbrio, as pressões sobre a parede de separação feitas por cada partição são equilibradas.

Equações de Clapeyron para cada gás, considerando a condição de mesma pressão:

[tex3]\mathsf{P \cdot V_A \ = \ n_A \cdot R \cdot T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{P \cdot V_A \ = \ n_A \cdot R \cdot T}[/tex3]

[tex3]\mathsf{P \cdot V_B \ = \ n_B \cdot R \cdot T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{P \cdot V_B \ = \ n_B \cdot R \cdot T}[/tex3]

Igualando as pressões:

[tex3]\mathsf{\dfrac{\cancelto{2 \cdot \cancel{n_B}}{n_A} \cdot \cancel{R} \cdot \cancel{T}}{V_A} \ = \ \dfrac{\cancel{n_B} \cdot \cancel{R} \cdot \cancel{T}}{V_B}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{\cancelto{2 \cdot \cancel{n_B}}{n_A} \cdot \cancel{R} \cdot \cancel{T}}{V_A} \ = \ \dfrac{\cancel{n_B} \cdot \cancel{R} \cdot \cancel{T}}{V_B}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{V_A \ = \ 2 \cdot V_B}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{V_A \ = \ 2 \cdot V_B}[/tex3]

Temos ainda que [tex3]\mathsf{V_A \ + \ V_B \ = \ V_T \ = \ S \cdot L}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{V_A \ + \ V_B \ = \ V_T \ = \ S \cdot L}[/tex3]

Então [tex3]\boxed{\mathsf{V_A \ = \ \dfrac{2}{3} \cdot S \cdot L, \ V_B \ = \ \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot L.}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{V_A \ = \ \dfrac{2}{3} \cdot S \cdot L, \ V_B \ = \ \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot L.}}[/tex3]

Sabendo que cada partição começa com o volume igual à metade do volume do cilindro, a variação de volume [tex3]\mathsf{\Delta V \ = \ \Bigg|\dfrac{V_T}{2} \ - \ V_A\Bigg| \ = \ \dfrac{S \cdot L}{6}.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\Delta V \ = \ \Bigg|\dfrac{V_T}{2} \ - \ V_A\Bigg| \ = \ \dfrac{S \cdot L}{6}.}[/tex3]

Dessa variação de volume decorre um deslocamento da parede [tex3]\mathsf{\Delta L}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\Delta L}[/tex3]

, de forma que:

[tex3]\mathsf{S \cdot |\Delta L| \ = \ |\Delta V|}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{S \cdot |\Delta L| \ = \ |\Delta V|}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\cancel{S} \cdot |\Delta L| \ = \ \dfrac{\cancel{S} \cdot L}{6}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\cancel{S} \cdot |\Delta L| \ = \ \dfrac{\cancel{S} \cdot L}{6}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{\therefore \ |\Delta L| \ = \ \dfrac{L}{6}.}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{\therefore \ |\Delta L| \ = \ \dfrac{L}{6}.}}[/tex3]