Duas partículas (m1 e m2) de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal, presas por molas de constante elástica k a paredes verticais e ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica K >> k. Suponha que o sistema está em movimento e os blocos estão oscilando e os deslocamentos da posição de equilíbrio os deslocamentos x1(t) da m1 e x2(t) da m2.
(c) Considere que a t = 0 a m1 tem uma amplitude A, m2 esta na posição de equilibro, v1(0) = v2(0) = 0. Determine com estas condições iniciais os deslocamentos (x1(t), x2(t)) das respectivas posições de equilibro.
Obs: Eu postei a letra (a) e (b) desse mesmo exercício no site aqui também, pois também não consegui resolve-las. Mas, letra (a) uma pessoa já conseguiu me ensinar como fazer.
Física II ⇒ Movimento Periódico e Oscilações Tópico resolvido
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παθμ
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Out 2023
25
15:32
Re: Movimento Periódico e Oscilações
Sabenada, vou trocar o A do enunciado por um "a" minúsculo.
Considere que as duas equações finais do item b) (as que mostram x_1(t)+x_2(t) e x_1(t)-x_2(t) respectivamente) sejam, respectivamente, as equações (1) e (2).
Plugando [tex3]x_1(0)=a[/tex3] e [tex3]x_2(0)=0[/tex3] na Eq. 1:
[tex3]a=B.[/tex3]
Plugando [tex3]x_1(0)=a[/tex3] e [tex3]x_2(0)=0[/tex3] na Eq. 2:
[tex3]a=D.[/tex3]
Derivando as equações 1 e 2:
[tex3]\dot{x_1}+\dot{x_2}=\omega_1 A \cos(\omega_1t) - \omega _1 B \sin( \omega_1 t)[/tex3] (Eq. 3)
[tex3]\dot{x_1}-\dot{x_2}=\omega_2 C \cos(\omega_2 t)- \omega_2 D \sin(\omega_2 t)[/tex3] (Eq. 4)
Plugando [tex3]\dot{x_1}(0)=\dot{x_2}(0)=0[/tex3] nas equações 3 e 4, obtemos [tex3]A=C=0.[/tex3]
Portanto, [tex3]x_1(t)+x_2(t)=a \cos(\omega_1t)[/tex3] e [tex3]x_1(t)-x_2(t)=a \cos(\omega_2 t).[/tex3]
De onde obtemos [tex3]\boxed{x_1(t)=\frac{a(\cos(\omega_1 t)+\cos(\omega_2 t))}{2}}[/tex3] e [tex3]\boxed{x_2(t)=\frac{a(\cos(\omega_1 t)-\cos(\omega_2 t))}{2}}[/tex3]
Considere que as duas equações finais do item b) (as que mostram x_1(t)+x_2(t) e x_1(t)-x_2(t) respectivamente) sejam, respectivamente, as equações (1) e (2).
Plugando [tex3]x_1(0)=a[/tex3] e [tex3]x_2(0)=0[/tex3] na Eq. 1:
[tex3]a=B.[/tex3]
Plugando [tex3]x_1(0)=a[/tex3] e [tex3]x_2(0)=0[/tex3] na Eq. 2:
[tex3]a=D.[/tex3]
Derivando as equações 1 e 2:
[tex3]\dot{x_1}+\dot{x_2}=\omega_1 A \cos(\omega_1t) - \omega _1 B \sin( \omega_1 t)[/tex3] (Eq. 3)
[tex3]\dot{x_1}-\dot{x_2}=\omega_2 C \cos(\omega_2 t)- \omega_2 D \sin(\omega_2 t)[/tex3] (Eq. 4)
Plugando [tex3]\dot{x_1}(0)=\dot{x_2}(0)=0[/tex3] nas equações 3 e 4, obtemos [tex3]A=C=0.[/tex3]
Portanto, [tex3]x_1(t)+x_2(t)=a \cos(\omega_1t)[/tex3] e [tex3]x_1(t)-x_2(t)=a \cos(\omega_2 t).[/tex3]
De onde obtemos [tex3]\boxed{x_1(t)=\frac{a(\cos(\omega_1 t)+\cos(\omega_2 t))}{2}}[/tex3] e [tex3]\boxed{x_2(t)=\frac{a(\cos(\omega_1 t)-\cos(\omega_2 t))}{2}}[/tex3]
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