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Resposta
11/2
Física II ⇒ Termodinâmica Tópico resolvido
Set 2023
18
20:20
Termodinâmica
Um cilindro horizontal de comprimento 2𝑙 é separado por um fino e isolante pistão em duas partes iguais, cada uma com 𝑛 mols de um gás monoatômico a uma temperatura 𝑇. O pistão é conectado às duas faces do cilindro por molas indeformadas de constante elástica 𝑘. Quando uma quantidade de calor 𝑄 é injetada ao gás da direita, o pistão é deslocado de 𝑙/2. Sabe-se que a quantidade de calor 𝑄′ rejeitada (a temperatura constante) pelo gás do lado esquerdo vale: 𝑄′ = 𝑄 − 𝛼(𝑛𝑅𝑇) − 𝛽(𝑘𝑙^2). Determine 𝛼 + 𝛽.
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παθμ
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Out 2023
05
21:15
Re: Termodinâmica
padeli675, seja 1 o lado esquerdo do cilindro e 2 o lado direito. Seja [tex3]A[/tex3]
a área da seção transversal do cilindro.
Após a expansão, temos [tex3]V_2=\frac{3Al}{2}[/tex3] , [tex3]P_2V_2=nRT_2 \Longrightarrow P_2=\frac{2nRT_2}{3Al}.[/tex3]
[tex3]V_1=\frac{Al}{2}[/tex3] , [tex3]P_1V_1=nRT \Longrightarrow P_1=\frac{2nRT}{Al}.[/tex3]
Pelo equilíbrio do pistão: [tex3](P_2-P_1)A=kl \Longrightarrow T_2=\frac{3(2nRT+kl^2)}{2nR}.[/tex3]
[tex3]\Delta U_2=\frac{3}{2}nR(T_2-T)=3nRT+\frac{9kl^2}{4}.[/tex3]
Pela primeira lei da termodinâmica, o trabalho que o gás 2 realizou no pistão foi [tex3]\Delta W_2=Q-\Delta U_2=Q-3nRT-\frac{9kl^2}{4}.[/tex3]
No movimento do pistão, foi realizado sobre ele um trabalho [tex3]\Delta W_2[/tex3] favorável e um trabalho [tex3]\frac{kl^2}{4}[/tex3] resistente (energia potencial elástica do sistema), todos em módulo. Como ele está em repouso nas situações inicial e final, isso significa que o gás 1 realizou sobre o pistão um trabalho [tex3]\Delta W_1=\Delta W_2-\frac{kl^2}{4}[/tex3] , em módulo, resistente.
[tex3]\Delta W_1=Q-3nRT -\frac{5kl^2}{2}.[/tex3]
Como [tex3]\Delta W_1[/tex3] foi, em módulo, o trabalho resistente realizado pelo gás 1, realizou-se um trabalho [tex3]\Delta W_1[/tex3] no gás 1. Como a temperatura desse gás não variou, temos [tex3]\Delta U_1=0[/tex3] e por isso esse trabalho realizado sobre ele foi rejeitado em calor: [tex3]Q'=\Delta W_1[/tex3] .
[tex3]\alpha+\beta=3+\frac{5}{2}=\boxed{\frac{11}{2}}[/tex3]
Após a expansão, temos [tex3]V_2=\frac{3Al}{2}[/tex3] , [tex3]P_2V_2=nRT_2 \Longrightarrow P_2=\frac{2nRT_2}{3Al}.[/tex3]
[tex3]V_1=\frac{Al}{2}[/tex3] , [tex3]P_1V_1=nRT \Longrightarrow P_1=\frac{2nRT}{Al}.[/tex3]
Pelo equilíbrio do pistão: [tex3](P_2-P_1)A=kl \Longrightarrow T_2=\frac{3(2nRT+kl^2)}{2nR}.[/tex3]
[tex3]\Delta U_2=\frac{3}{2}nR(T_2-T)=3nRT+\frac{9kl^2}{4}.[/tex3]
Pela primeira lei da termodinâmica, o trabalho que o gás 2 realizou no pistão foi [tex3]\Delta W_2=Q-\Delta U_2=Q-3nRT-\frac{9kl^2}{4}.[/tex3]
No movimento do pistão, foi realizado sobre ele um trabalho [tex3]\Delta W_2[/tex3] favorável e um trabalho [tex3]\frac{kl^2}{4}[/tex3] resistente (energia potencial elástica do sistema), todos em módulo. Como ele está em repouso nas situações inicial e final, isso significa que o gás 1 realizou sobre o pistão um trabalho [tex3]\Delta W_1=\Delta W_2-\frac{kl^2}{4}[/tex3] , em módulo, resistente.
[tex3]\Delta W_1=Q-3nRT -\frac{5kl^2}{2}.[/tex3]
Como [tex3]\Delta W_1[/tex3] foi, em módulo, o trabalho resistente realizado pelo gás 1, realizou-se um trabalho [tex3]\Delta W_1[/tex3] no gás 1. Como a temperatura desse gás não variou, temos [tex3]\Delta U_1=0[/tex3] e por isso esse trabalho realizado sobre ele foi rejeitado em calor: [tex3]Q'=\Delta W_1[/tex3] .
[tex3]\alpha+\beta=3+\frac{5}{2}=\boxed{\frac{11}{2}}[/tex3]
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