Bom dia! Se poderem ajudar ficarei agradecido!
Em um sistema massa-mola amortecido, com massa de 5 kg e constante elastica de 1000N/m, observou-se
que as oscilações são tais que a amplitude do décimo segundo ciclo é 48% da amplitude do sexto ciclo.
Determine a constante de amortecimento e a frequência de vibração amortecida.
**Não tenho o gabarito!***
Física II ⇒ Vibraçoes Tópico resolvido
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aleixoreis 
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Ago 2020
08
01:26
Re: Vibraçoes
RogerPrado:
Sinceramente, não posso garantir que a solução esteja correta.
[tex3]A_n =A_0e^{-n\gamma T}[/tex3]
[tex3]A_{12}=A_0e^{-12\gamma T}[/tex3]
[tex3]A_6=A_0e^{-6\gamma T}[/tex3]
Se: [tex3]A_6=0,48A_{12}[/tex3]
[tex3]\frac{A_{12}}{A_6}=\frac{A_0e^{-12\gamma T}}{A_0e^{-6\gamma T}}\rightarrow 0,48=\frac{e^{-12\gamma T}}{e^{-6\gamma T}} [/tex3]
[tex3]0,48=e^{-6\gamma T}\rightarrow ln 0,48=-6\gamma T ln\,e\rightarrow \gamma t=0,12 \rightarrow T=\frac{0,12}{\gamma}[/tex3] ...I
Temos: [tex3]\omega=\frac{2\pi}{T}\rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}[/tex3] ...II
Igualando I e II: [tex3]\frac{0,12}{\gamma}=\frac{2\pi}{\omega}\rightarrow \omega=\frac{2\pi\gamma}{0,12}[/tex3] ...III
[tex3]\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{5}}=\sqrt{200}[/tex3] ...IV
Sabemos que: [tex3]\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2[/tex3] ...V
Substituindo III e IV em V:
[tex3](\frac{2\pi \gamma}{0,12})^2=(\sqrt{200})^2-\gamma^2\rightarrow 4\pi^2 \gamma^2=0,014\times 200-0,014\gamma^2[/tex3]
[tex3]\gamma^2(4\pi^2+0,014)=2,88\rightarrow\gamma=0,023s^{-1}[/tex3]
Se [tex3]\gamma=\frac{b}{2m}\rightarrow b=\gamma \times 2m\rightarrow b=0,023\times 2\times 5\rightarrow b=0,23kg/s[/tex3]
b é a constante de amortecimento.
Cáculo da frequência:
Em I: [tex3]\frac{1}{f}=\frac{0,12}{\gamma}\rightarrow f=\frac{\gamma}{0,12}\rightarrow f=\frac{0,023}{0,12}=0,19Hz[/tex3]
Penso que é isso.
[ ]'s.
Sinceramente, não posso garantir que a solução esteja correta.
[tex3]A_n =A_0e^{-n\gamma T}[/tex3]
[tex3]A_{12}=A_0e^{-12\gamma T}[/tex3]
[tex3]A_6=A_0e^{-6\gamma T}[/tex3]
Se: [tex3]A_6=0,48A_{12}[/tex3]
[tex3]\frac{A_{12}}{A_6}=\frac{A_0e^{-12\gamma T}}{A_0e^{-6\gamma T}}\rightarrow 0,48=\frac{e^{-12\gamma T}}{e^{-6\gamma T}} [/tex3]
[tex3]0,48=e^{-6\gamma T}\rightarrow ln 0,48=-6\gamma T ln\,e\rightarrow \gamma t=0,12 \rightarrow T=\frac{0,12}{\gamma}[/tex3] ...I
Temos: [tex3]\omega=\frac{2\pi}{T}\rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}[/tex3] ...II
Igualando I e II: [tex3]\frac{0,12}{\gamma}=\frac{2\pi}{\omega}\rightarrow \omega=\frac{2\pi\gamma}{0,12}[/tex3] ...III
[tex3]\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{5}}=\sqrt{200}[/tex3] ...IV
Sabemos que: [tex3]\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2[/tex3] ...V
Substituindo III e IV em V:
[tex3](\frac{2\pi \gamma}{0,12})^2=(\sqrt{200})^2-\gamma^2\rightarrow 4\pi^2 \gamma^2=0,014\times 200-0,014\gamma^2[/tex3]
[tex3]\gamma^2(4\pi^2+0,014)=2,88\rightarrow\gamma=0,023s^{-1}[/tex3]
Se [tex3]\gamma=\frac{b}{2m}\rightarrow b=\gamma \times 2m\rightarrow b=0,023\times 2\times 5\rightarrow b=0,23kg/s[/tex3]
b é a constante de amortecimento.
Cáculo da frequência:
Em I: [tex3]\frac{1}{f}=\frac{0,12}{\gamma}\rightarrow f=\frac{\gamma}{0,12}\rightarrow f=\frac{0,023}{0,12}=0,19Hz[/tex3]
Penso que é isso.
[ ]'s.
Só sei que nada sei.(Sócrates)
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RogerPrado 
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