Pré-Vestibular(PAS 3-2016 UnB) Números Complexos

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
amabda53
iniciante
Mensagens: 1
Registrado em: Qui 23 Dez, 2021 15:41
Última visita: 01-11-22
Dez 2021 23 15:50

(PAS 3-2016 UnB) Números Complexos

Mensagem não lida por amabda53 »

NC (UNB).png
NC (UNB).png (109.4 KiB) Exibido 838 vezes
Na figura acima, uma estrela de 5 pontas é representada no plano de coordenadas cartesianas ortogonais [tex3]x[/tex3] O [tex3]y.[/tex3] Cada ponto (x, y) desse plano está identificado com um número complexo [tex3]z = x + iy,[/tex3] em que [tex3]i =\sqrt{-1}[/tex3] é a unidade imaginária. A respeito dessa figura, −1 sabe-se que:
  • C os pontos q1, q2, q3, q4 e q5 estão localizados nos vértices de um pentágono e são as raízes complexas da equação [tex3]z^5 = -1,[/tex3] estando, portanto, sobre a circunferência de centro na origem e raio unitário [tex3](|z| = 1)[/tex3] ;
  • os pontos p1, p2, p3, p4 e p5 são as raízes complexas da equação [tex3]z^5 = L^5[/tex3] , em que [tex3]L = \frac{3 + \sqrt{5}}{2};[/tex3]
  • os pontos de cada um dos seguintes conjuntos {p1, q1, q2, p3}, {p2, q2, q3, p4}, {p3, q3, q4, p5} {p4, q4, q5, p1} e { p2, q1, q5, p5} estão sobre segmentos de retas, conforme mostrado na figura.
A partir dessas informações, julgue os itens de 88 a 92, assinale a opção correta no item 93, que é do tipo C, e faça o que se pede no item 94, que é do tipo B.

90 Para se obter a estrela de 5 pontas rotacionada, em torno da origem e no sentido anti-horário, de um ângulo de radiano, [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] é suficiente multiplicar todos os seus pontos por [tex3]i.[/tex3]

91 As coordenadas do ponto q1 são iguais a [tex3](\cos\frac{\pi}{10} , \, \sen\frac{\pi}{10} ).[/tex3]
Resposta

Gabarito: C e E

Última edição: MateusQqMD (Sex 24 Dez, 2021 10:48). Total de 1 vez.
Razão: retirar enunciado em forma de imagem (regra 1).



Avatar do usuário
LostWalker
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 677
Registrado em: Seg 04 Mar, 2019 16:34
Última visita: 07-03-24
Jan 2022 24 02:06

Re: (PAS 3-2016 UnB) Números Complexos

Mensagem não lida por LostWalker »

Introdução
Usaremos a forma [tex3]|z|\cis(\theta)=|z|\cdot\(\cos(\theta)+i\sen(\theta)\)[/tex3] . Sabemos que o módulo é [tex3]1[/tex3] , já que [tex3]z^5=-1[/tex3] , logo [tex3]z=\cis(\theta)[/tex3] .


Sabemos também que [tex3]-1=\cis(\pi)[/tex3] , e com isso, podemos fazer as modificações:

[tex3]z^5=\cis(\pi)[/tex3]

[tex3]z^5=\cis\(\frac{5\pi}{5}\)[/tex3]

[tex3]z^5=\cis^5\(\frac{\pi}{5}\)[/tex3]

[tex3]\boxed{z=\cis\(\frac{\pi}{5}\)}[/tex3]




Questão 90
Começamos por [tex3]i=\cis\(\frac{\pi}{2}\)[/tex3] , logo, ao multiplicar em [tex3]z^n[/tex3] , onde [tex3]n=1,2,3,4,5[/tex3] (isso corresponde aos 5 pontos [tex3]q_n[/tex3] ):

[tex3]z^n\cdot i=\cis\(\frac{n\pi}{5}\)\cis\(\frac{\pi}{2}\)=\cis\(\frac{n\pi}{5}+\frac{\pi}{2}\)[/tex3]


Ou seja, todos os pontos irão rotacionar sim em [tex3]90^\circ[/tex3] . [tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Certo}[/tex3]




Questão 91
Com os dados da introdução, temos na verdade que [tex3]q_1=\(\cos\(\frac{\pi}{5}\),\sen\(\frac{\pi}{5}\)\)[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Errado}[/tex3]



"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (PAS 1 - UnB - DF -2014) Força elástica
    por Aabog » » em Física I
    0 Respostas
    534 Exibições
    Última msg por Aabog
  • Nova mensagem (UnB PAS - 2014) Geometria Plana/Polinômios
    por Gabi123 » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    861 Exibições
    Última msg por LostWalker
  • Nova mensagem (UnB - PAS - 2015) Geometria Espacial
    por ALDRIN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    741 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem (UnB - PAS - 2013) Geometria Espacial
    por ALDRIN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    610 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem (UnB - PAS - 2013) Geometria Espacial
    por ALDRIN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    524 Exibições
    Última msg por petras

Voltar para “Pré-Vestibular”