Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest) Quadrado Tópico resolvido

[AngelitaB]

De quanto deve aumentar o lado do quadrado para que sua área dobre?

Resposta

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[tex3]\sqrt{2}-1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}-1 [/tex3]

da medida do lado

[joaopcarv]

Seja [tex3]\mathsf{l}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{l}[/tex3]

o lado do quadrado. Sua área é [tex3]\mathsf{A \ = \ l^2.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{A \ = \ l^2.}[/tex3]

Aumentaremos o lado por uma medida [tex3]\mathsf{x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x}[/tex3]

, ou seja, o novo lado é [tex3]\mathsf{l' \ = \ l \ + \ x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{l' \ = \ l \ + \ x}[/tex3]

, com área [tex3]\mathsf{A' \ = \ (l \ + \ x)^2.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{A' \ = \ (l \ + \ x)^2.}[/tex3]

Temos que [tex3]\mathsf{A' \ = \ 2 \cdot A:}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{A' \ = \ 2 \cdot A:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(l \ + \ x)^2 \ = \ 2 \cdot l^2}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(l \ + \ x)^2 \ = \ 2 \cdot l^2}[/tex3]

[tex3]\mathsf{l \ + \ x = \ \sqrt{2} \cdot l}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{l \ + \ x = \ \sqrt{2} \cdot l}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{x \ = \ (\sqrt{2} \ - \ 1) \cdot l}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{x \ = \ (\sqrt{2} \ - \ 1) \cdot l}}[/tex3]

[lookez]

Uma maneira mais imediata:

Entre figuras semelhantes, sabemos que se um comprimento aumenta por [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

, a área aumenta por [tex3]k^2[/tex3]

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[tex3]k^2[/tex3]

, logo:
[tex3]k^2\cdot A=2A\rightarrow k=\sqrt2[/tex3]

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[tex3]k^2\cdot A=2A\rightarrow k=\sqrt2[/tex3]

O novo comprimento é [tex3]k\cdot l[/tex3]

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[tex3]k\cdot l[/tex3]

, então o lado aumentou [tex3]k\cdot l-l=l(k-1)=\boxed{l(\sqrt2 -1)}[/tex3]

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[tex3]k\cdot l-l=l(k-1)=\boxed{l(\sqrt2 -1)}[/tex3]