Pré-Vestibular ⇒ Unifesp equações

[Lars]

Colocam-se nº cubinhos de arestas unitárias juntos, for-
mando um cubo de aresta n, onde n > 2. Esse cubo
tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separando-se os cubinhos.
a) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de n para os quais o número de
cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual
a 56.

Resposta

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Resposta

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8
4

[AlexandreHDK]

Bom, vamos pensar nesses cubos de aresta n. Os cubinhos que não são pintados são exatamente aqueles que formam um "cubo interno" de aresta n-2 que cabe inteiramente dentro do cubo de aresta n.
Os cubinhos que terão somente 1 face pintada não podem pertencer aos vértices e às arestas, somente às faces. E se o cubo tem aresta n, cada face tem exatamente (n-2)² desses cubinhos de 1 face pintada, e o cubo inteiro tem 6 dessas faces, ou seja, o total é igual a 6.(n-2)².
Os cubinhos que não tem nenhuma face pintada são aqueles que estão no "cubo interno", que possui aresta n-2, ou seja, que é composto de (n-2)³ cubinhos.
Para o item (a), basta fazer 6.(n-2)² = (n-2)³, que nos leva a 6 = (n-2), ou seja, n = 8

Os cubinhos com pelo menos 1 face pintada são todos os externos do cubo maior, ou seja, basta pegar todos os cubinhos do cubo maior e descontar os cubinhos do cubo interno:
n³-(n-2)³ = 56
n³-(n³-6n²+12n-8) = 56
6n²-12n-48 = 0
A soluções são n = -2 ou n = 4. A gente descarta a solução negativa porque ela não faz sentido.
Assim, o cubo precisa ter 4 cubinhos de lado, totalizando 4³=64 cubinhos no total, e o cubo interno terá 2³=8 cubinhos que não serão pintados, batendo a conta de termos um total de 56 cubinhos que possuem pelo menos 1 face pintada.