Pré-Vestibular ⇒ (ENE) Triângulo

[botelho]

Os ados de um triângulo estão em progressão aritmética (a<b<c). Calcule [tex3]\frac{sen A + sen C}{senB}[/tex3]

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[tex3]\frac{sen A + sen C}{senB}[/tex3]

.
a)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

b)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

c)1
d)2
e)3

Resposta

---

d

[joaopcarv]

Dado que os lados estão em progressão aritmética [tex3]\mathsf{(a \ < \ b \ < \ c)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(a \ < \ b \ < \ c)}[/tex3]

, então [tex3]\mathsf{b \ = \ \dfrac{a \ + \ c}{2}.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{b \ = \ \dfrac{a \ + \ c}{2}.}[/tex3]

Lei dos Senos:

[tex3]\mathsf{\dfrac{a}{\sin(A)} \ = \ \dfrac{b}{\sin(B)} \ \therefore \ b \ = \ \dfrac{\sin(B)}{\sin(A)} \cdot a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{a}{\sin(A)} \ = \ \dfrac{b}{\sin(B)} \ \therefore \ b \ = \ \dfrac{\sin(B)}{\sin(A)} \cdot a}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{a}{\sin(A)} \ = \ \dfrac{c}{\sin(c)} \ \therefore \ c \ = \ \dfrac{\sin(C)}{\sin(A)} \cdot a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{a}{\sin(A)} \ = \ \dfrac{c}{\sin(c)} \ \therefore \ c \ = \ \dfrac{\sin(C)}{\sin(A)} \cdot a}[/tex3]

Progressão aritmética:

[tex3]\mathsf{b \ = \ \dfrac{a \ + \ c}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{b \ = \ \dfrac{a \ + \ c}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\sin(B)}{\sin(A)} \cdot \cancel a \ = \ \dfrac{\cancel a \ + \ \dfrac{\sin(C)}{\sin(A)} \cdot \cancel a}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{\sin(B)}{\sin(A)} \cdot \cancel a \ = \ \dfrac{\cancel a \ + \ \dfrac{\sin(C)}{\sin(A)} \cdot \cancel a}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\sin(B)}{\cancel{\sin(A)}} \ = \ \dfrac{\sin(A) \ + \ \sin(C)}{2 \cdot \cancel{\sin(A)}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{\sin(B)}{\cancel{\sin(A)}} \ = \ \dfrac{\sin(A) \ + \ \sin(C)}{2 \cdot \cancel{\sin(A)}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{\sin(A) \ + \ \sin(C)}{\sin(B)} \ = \ 2}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{\sin(A) \ + \ \sin(C)}{\sin(B)} \ = \ 2}}}[/tex3]