Ensino Médio ⇒ Termo geral do binômio de Newton Tópico resolvido

[Harison]

Obtenha o coeficiente de [tex3]x⁶⁴[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x⁶⁴[/tex3]

no desenvolvimento de:[tex3](x⁴+2)¹⁰•(x⁴-2)¹⁰[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x⁴+2)¹⁰•(x⁴-2)¹⁰[/tex3]

Resposta

---

720

[venividivici]

Essa expressao é = [(x⁴+2).(x⁴-2)]¹⁰

toda vez q tiver expressoes iguais, uma de soma e outra de subtracao, multplicando-se, repete a de subtracao e eleva ao quadrado cada termo.(ver na imagem abaixo)

[PedroLucas]

Obtenha o coeficiente de [tex3]x⁶⁴[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x⁶⁴[/tex3]

no desenvolvimento de:[tex3](x⁴+2)¹⁰•(x⁴-2)¹⁰[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x⁴+2)¹⁰•(x⁴-2)¹⁰[/tex3]

Resposta

---

720

Segue a resolução abaixo:
[tex3]T=(x^4+2)^{10}\cdot(x^4-2)^{10}\\
T=[(x^4+2)(x^4-2)]^{10}\\
T=((x^4)^2-2^2)^{10}\\
T=(x^8-4)^{10}\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=(x^4+2)^{10}\cdot(x^4-2)^{10}\\
T=[(x^4+2)(x^4-2)]^{10}\\
T=((x^4)^2-2^2)^{10}\\
T=(x^8-4)^{10}\\
[/tex3]

Daí:
[tex3](ax^m+b)^n = \begin{pmatrix}
n \\
p
\end{pmatrix}\cdot (ax^m)^{n-p}\cdot b^{p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](ax^m+b)^n = \begin{pmatrix}
n \\
p
\end{pmatrix}\cdot (ax^m)^{n-p}\cdot b^{p}[/tex3]

Sendo a = 1, m = 8, n = 10 b = -4:
[tex3]T=(x^8-4)^{10} = \begin{pmatrix}
10 \\
p
\end{pmatrix}\cdot (x^8)^{10-p}\cdot (-4)^{p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=(x^8-4)^{10} = \begin{pmatrix}
10 \\
p
\end{pmatrix}\cdot (x^8)^{10-p}\cdot (-4)^{p}[/tex3]

Temos que ter [tex3]8\cdot(10-p) = 64[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8\cdot(10-p) = 64[/tex3]

. Daí:
[tex3]8\cdot(10-p) = 64 \ \ \ \ \times \frac{1}{8}\\
10 - p = 8\\
\boxed{p = 2}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8\cdot(10-p) = 64 \ \ \ \ \times \frac{1}{8}\\
10 - p = 8\\
\boxed{p = 2}
[/tex3]

Sendo p = 2, então:
[tex3]T=\begin{pmatrix}
10 \\
2
\end{pmatrix}\cdot (x^8)^{10-2}\cdot (-4)^{2} \\
T=\frac{10!}{2!\cdot 8!}\cdot x^{64}\cdot (-4)^{2} \\
T=\frac{10\cdot9\cdot\cancel{8!}}{\cancel{2!}\cdot \cancel{8!}}\cdot x^{64}\cdot \cancel{16}^8 \\
T=10\cdot9\cdot x^{64}\cdot 8 \\
\boxed{T=720x^{64}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=\begin{pmatrix}
10 \\
2
\end{pmatrix}\cdot (x^8)^{10-2}\cdot (-4)^{2} \\
T=\frac{10!}{2!\cdot 8!}\cdot x^{64}\cdot (-4)^{2} \\
T=\frac{10\cdot9\cdot\cancel{8!}}{\cancel{2!}\cdot \cancel{8!}}\cdot x^{64}\cdot \cancel{16}^8 \\
T=10\cdot9\cdot x^{64}\cdot 8 \\
\boxed{T=720x^{64}}[/tex3]