Dica de LaTex, dá pra fazer os coeficientes binomiais usando o comando {n\choose k} = [tex3]{n\choose k}[/tex3]
.
Sabemos do Teorema Binomial de Newton que:
[tex3](a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+...+{n\choose k}a^{n-k}b^k+...+{n\choose n-1}ab^{n-1}+b^n[/tex3]
Analisando a segunda equação, como o grau maior é 5, então podemos supor que esta é da forma [tex3](a+b)^5[/tex3]
. Vemos que o termo com expoente decrescente é [tex3]x[/tex3]
, então temos algo da forma [tex3](x+b)^5[/tex3]
. Basta agora analisar quem é [tex3]b[/tex3]
. Vejamos o que acontece no teorema se substituirmos [tex3]b[/tex3]
por [tex3]-b[/tex3]
:
[tex3](a-b)^n=(a+(-b))^n[/tex3]
[tex3](a-b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}(-b)+...+{n\choose k}a^{n-k}(-b)^k+...+{n\choose n-1}a(-b)^{n-1}+(-b)^n[/tex3]
[tex3](a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b+...+{n\choose k}a^{n-k}(-b)^k+...+{n\choose n-1}a(-b)^{n-1}+(-b)^n[/tex3]
Para os termos em que [tex3]k[/tex3]
for par, então [tex3](-b)^k=b^k[/tex3]
, mas para os termos em que [tex3]k[/tex3]
for ímpar, então [tex3](-b)^k=-b^k[/tex3]
. Ou seja, os termos alternam entre positivo e negativo. Podemos ver que este é o caso da segunda equação, assim ela é da forma [tex3](x-b)^5[/tex3]
. Como o termo que tem expoente crescente é [tex3]y[/tex3]
, então podemos afirmar que:
[tex3]x^5-{5\choose 4}x^4y+{5\choose 3}x^3y^2-{5\choose 2}x^2y^3+{5\choose 1}xy^4-y^5=(x-y)^5[/tex3]
Logo:
[tex3]\begin{cases}
2x+y=5 \\
(x-y)^5=-32
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2x+y=5 \\
x-y=-2
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema, obtemos:
[tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=3[/tex3]
