Pré-Vestibular ⇒ (IFPE 2015) Poliedros Tópico resolvido

[Vivianne]

Walter é aluno do curso de Design Gráfico. Ele está interessado em objetos decorativos para ambientes internos. Para o seu trabalho de conclusão de curso, ele projetou uma divisória usando octaedros regulares, como o da figura abaixo.

poliedro.png (8.44 KiB) Exibido 1114 vezes

Nessa divisória, cada um deles é suspenso por meio de um fio vertical que é preso a um dos seus vértices. Se cada octaedro tem 15cm de aresta, qual o volume de cada um desses sólidos, em cm³ ?

Resposta

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[tex3]1125\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]1125\sqrt{2}[/tex3]

[AlexandreHDK]

Divisoria.png (10.04 KiB) Exibido 1109 vezes

Se a aresta tem 15cm e as faces são triangulares, a altura de cada triângulo (apótema da pirâmide) pode ser calculada como [tex3]a=\frac{15\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]a=\frac{15\sqrt{3}}{2}[/tex3]

cm. Com essa apótema mais metade da aresta forma-se um triângulo retângulo, e podemos calcular a altura da pirâmide como [tex3]h=\frac{15\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]h=\frac{15\sqrt{2}}{2}[/tex3]

cm
Para 1 pirâmide, o volume é igual a [tex3]\frac{(\text{área da base}).(\text{altura})}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{(\text{área da base}).(\text{altura})}{3}[/tex3]

, e queremos o volume de 2 dessas pirâmides.
Assim: [tex3]V=2.\frac{15^2.\frac{15\sqrt{2}}{2}}{3}=1125\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]V=2.\frac{15^2.\frac{15\sqrt{2}}{2}}{3}=1125\sqrt{2}[/tex3]

cm³.