Pré-Vestibular ⇒ (ENEM - 2021) Combinatória Tópico resolvido

[MMedicina]

Um armazém possui certa quantidade de interruptores
que controlam o sistema de iluminação de todo o local.
Os interruptores funcionam de forma independente, e
cada um deles, ao ser acionado, liga as lâmpadas de um
recinto específico do armazém. Acionando-se pelo menos
dois dos interruptores, é possível ligar as lâmpadas dos
recintos do armazém de 120 maneiras diferentes.
A quantidade de interruptores que controlam o sistema de
iluminação desse armazém é

Screenshot_20211104-150607_OneDrive.jpg

Consegui por tentativa e erro, mas alguém tem uma outra resolução mais "formal?

Resposta

---

gabarito A

[careca]

Imagine que há [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

interruptores.

A questão diz que formam-se 120 combinações diferentes ao se acionar PELO MENOS 2 interruptores.

Isso significa que 120 é a soma das combinações com 2,3,4,5,6, ( ... ) , n interruptores.

Então:

[tex3]120 = \begin{pmatrix}n \\ 2 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\ 3 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n \\ 4 \\ \end{pmatrix} +...+\begin{pmatrix}n \\ n-1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n \\ n \\ \end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120 = \begin{pmatrix}n \\ 2 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\ 3 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n \\ 4 \\ \end{pmatrix} +...+\begin{pmatrix}n \\ n-1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n \\ n \\ \end{pmatrix}[/tex3]

Note que formou-se esse padrão interessante e convém lembrar de uma propriedade muito interessante do triângulo de pascal: ( Soma todos os elementos de uma determinada linha e note o padrão )

[tex3]\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \\ \end{pmatrix} =2^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \\ \end{pmatrix} =2^n[/tex3]

Mas note que a soma que estamos querendo resolver começa do i =2. Vamos então, somar os dois elementos que falta e subtraí-los de forma a aparecer:

[tex3]120=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ i \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}n \\ 0 \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}n \\ 1 \\ \end{pmatrix} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ i \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}n \\ 0 \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}n \\ 1 \\ \end{pmatrix} [/tex3]

Agora, vamos resolver e ver o que vai aparecer:

[tex3]120=2^n -\frac{n!}{(n-1)!.1!}-\frac{n!}{n!.0!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120=2^n -\frac{n!}{(n-1)!.1!}-\frac{n!}{n!.0!}[/tex3]

[tex3]120=2^n -\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!.1!}-\frac{n!}{n!.0!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120=2^n -\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!.1!}-\frac{n!}{n!.0!}[/tex3]

[tex3]120=2^n -n-1 --> 121+n=2^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120=2^n -n-1 --> 121+n=2^n[/tex3]

Beleza, agora basta resolver essa equação sabendo que [tex3]n\in N*[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in N*[/tex3]

cabe observar que uma potência de n muito próxima de 120 e 121 é o 128 ( 2^7)

então, vamos testar para n = 7 e ver se é solução.

[tex3]121 +7 = 2^7 -> 128 = 128[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]121 +7 = 2^7 -> 128 = 128[/tex3]

Então a resposta do problema é [tex3]n = 7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n = 7[/tex3]

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OBSERVAÇÃO:

Tentei ser o mais didático e formal na explicação, na hora do prova o que vai contar é a agilidade então seria mais fácil você após notar o padrão esse padrão de somas e a semelhança com a propriedade: [tex3]\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \\ \end{pmatrix} =2^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \\ \end{pmatrix} =2^n[/tex3]

testar para alguns quadrados próximos de 120.

A solução da equação [tex3]121+n=2^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]121+n=2^n[/tex3]

é dada pela intersecção de uma reta com uma função exponencial. Graficamente é uma forma extremamente viável de encontrar uma resposta