Pré-Vestibular

Mensagem não lida por **Harison** » 24 Out 2021, 23:21

As raízes não nulas da equação mostrada na figura a seguir

[tex3]\begin{pmatrix}
x & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{7} \\
x & x & 2 & \sqrt{7} \\
x & x & x & \sqrt{7} \\
x & x & x & x \\
\end{pmatrix}[/tex3] =0

São as medidas dos lados de um triângulo de área:

Resposta

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Mensagem não lida por **AnthonyC** » 25 Out 2021, 14:25

Vamos fazer operações sobre a matriz para facilitar o cálculo:
[tex3]\begin{pmatrix}
x & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{7} \\
x & x & 2 & \sqrt{7} \\
x & x & x & \sqrt{7} \\
x & x & x & x \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Façamos as seguintes operações [tex3]\begin{cases}
L_2=L_2 -L_1\\
L_3=L_3-L_1\\
L_4=L_4-L_1
\end{cases}[/tex3] :
[tex3]\begin{pmatrix}
x & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{7} \\
0 & x-\sqrt3 & 0 & 0 \\
0 & x-\sqrt3 & x-2 & 0 \\
0 & x-\sqrt3 & x-2 & x-\sqrt7 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Façamos agora [tex3]\begin{cases}
L_3=L_3 -L_2\\
L_4=L_4-L_2\\
\end{cases}[/tex3] :
[tex3]\begin{pmatrix}
x & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{7} \\
0 & x-\sqrt3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x-2 & 0 \\
0 & 0 & x-2 & x-\sqrt7 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Por fim, façamos [tex3]L_4=L_4-L_3[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}
x & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{7} \\
0 & x-\sqrt3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x-2 & 0 \\
0 & 0 & 0& x-\sqrt7 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Assim, obtemos uma matriz diagonal superior. Sabemos que o determinante de uma matriz dessa forma é dada pelo produto da diagonal principal, logo:
[tex3]\det\begin{pmatrix}
x & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{7} \\
0 & x-\sqrt3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x-2 & 0 \\
0 & 0 & 0& x-\sqrt7 \\
\end{pmatrix}=x(x-\sqrt3)(x-2)(x-\sqrt7)[/tex3]
Porém, como todas as operações feitas foram da forma [tex3]L_i=L_i+kL_j[/tex3] , então o determinante não se altera. Logo, o determinante obtido é o mesmo da matriz original. Assim, podemos encontrar as raízes:
[tex3]x(x-\sqrt3)(x-2)(x-\sqrt7)=0[/tex3]
[tex3]x\in\{0,\sqrt3,2,\sqrt7\}[/tex3]
Ignorando [tex3]x=0[/tex3] , temos os lados do triângulo como sendo [tex3]\sqrt3,2[/tex3] e [tex3]\sqrt7[/tex3] . Porém podemos ver que:
[tex3](\sqrt7)^2=2^2+(\sqrt3)^2[/tex3]
Portanto, nosso triângulo é triângulo retângulo, com catetos [tex3]2[/tex3] e [tex3]\sqrt3[/tex3] . Assim, a área é dada por:
[tex3]A={bh\over2 }[/tex3]
[tex3]A={2\cdot\sqrt3\over2 }[/tex3]
[tex3]A=\sqrt3[/tex3]

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(Mackenzie) Determinante

Re: Determinante/Mackenzie

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