Pré-Vestibular

Stanys · Mensagem não lida por **Stanys** » Dom 24 Out, 2021 11:00

Seja P(x) um polinômio do 5º grau cujo coeficiente de x⁵ é 1. Sabendo P(0) = 2, P(–1) = 8 e que x³–3x+2 um fator de P(x), assinale o que for correto.

01. P(x) é divisível por x –1.
02. Todas as raízes de P(x) são reais.
04. A soma das raízes de P(x) é 0.
08. P(x) tem uma raiz dupla.
16. O produto das raízes de P(x) é negativo.

Resposta

Gabarito: 29

Stanys,

Como [tex3]P(0)=2[/tex3] , o termo independente de nosso polinônio é 2. Como [tex3]x^3-3x+2=x(x^2-1)-2(x-1)=\\
x(x-1)(x+1)-2(x-1)=\\
(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x+2)(x-1)[/tex3]

é fator de P(x), então ganhamos duas raízes de nosso polinônio sendo elas [tex3]-2[/tex3] e [tex3]1[/tex3] , este último sendo raiz dupla.

Temos que [tex3]P(x)=(x-1)^2(x+2)(x^2+ax+b)[/tex3]

Como [tex3]P(0)=2[/tex3] , temos que

[tex3]2=2b\implies b=1[/tex3]

Como [tex3]P(-1)=8[/tex3]

[tex3]8=4\cdot 1\cdot (2-a)\implies a=0[/tex3]

Logo,

[tex3]P(x)=(x-1)^2(x+2)(x^2+1)[/tex3]

Raízes: 1, 1, -2, [tex3]\pm i[/tex3]

01. Verdade
02. Falso
04. Verdade
08. Verdade
16. Verdade

Soma: 1+4+8+16=29

Eu já havia escrito uma solução, então para não desperdiçar, vou deixar como complemento, um método diferente.

1- Definição do polinomio de 5º grau:
P(x) = [tex3]x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f[/tex3]

2- [tex3](x^3-3x+2)[/tex3] é fator de P(x):
P(x)=[tex3](x^3-3x+2)(mx^2+nx+t) = \mathbf{mx^5+nx^4+(t-3m)x^3+(2m-3n)x^2+(2n-3t)x+2t}[/tex3]

Pela definição do polinômio (1), sabemos que m=1:
P(x) = [tex3]x^5+nx^4+(t-3)x^3+(2-3n)x^2+(2n-3t)x+2t[/tex3]

3- Falta descobrir duas variaveis: t e n.
Para isso, o exercicio nos dá dois pontos: (0, 2) e (-1, 8 )
Assim formamos um sistema:
[tex3]\begin{cases} 0^5+n\cdot 0^4+(t-3)\cdot 0^3+(2-3n)\cdot 0^2+(2n-3t)\cdot 0+2t=2 ~~~~~~~~~~~~~\rightarrow 2t==2~~~~~~~~~\rightarrow t=1 \\
-1+n+(1-3)\cdot (-1)+(2-3n)+(2n-3)\cdot (-1)+2=8 ~~~~~~EQ.1
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo EQ.1:
[tex3]-1+n+2+2-3n-2n+3+2=8 \\ -4n+8=8 ~~~~\rightarrow n=0[/tex3]

4- Definindo P(x):
P(x) = [tex3]x^5+nx^4+(t-3)x^3+(2-3n)x^2+(2n-3t)x+2t[/tex3]
P(x) = [tex3]x^5-2x^3+2x^2+-3x+2[/tex3]

Definindo P(x) pela fatoração com [tex3](x^3-3x+2)[/tex3] :
[tex3]P(x)=(x^3-3x+2)(mx^2+nx+t) \\\ \\ P(x)=(x^3-3x+2)(x^2+1) [/tex3]

5- P(x) é divisivel por (x-1)?
Basta verificar se x-1=0 --> x=1 é raiz da função
[tex3]P(x)=(1^3-3+2)(1^2+1) = 0 [/tex3] -- Sim, é divisivel. (x-1) é fator de [tex3]x^3-3x+2[/tex3]

6-Todas as raizes são reais?
Podemos definir as raizes, antes vamos fatorar [tex3](x^3-3x+2) \\ = (x-1)(ax^2+bx+c) =\\\ \\=ax^3+(b-a)x^2 +(c-b)x-c [/tex3]

É possivel verificar que a=1, (b-a)=0 -> b=1, e (c-b)=-3 --> c=-2, de modo que:
P(x) = [tex3](x-1)(x^2+x-2)(x^2+1)[/tex3]

Para encontrar as raízes, iguala-se a zero cada uma das equações:
(x-1) = 0 -->x=1
[tex3](x^2+x-2)[/tex3] = 0 --> x=-2 ou x=1
[tex3](x^2+1)=0[/tex3] ---> x=i não tem raiz REAL (a função tem uma raiz irracional)
Raízes n são todas reais.

6- A soma das raízes é 0. x=1 é raiz dupla.

Pré-Vestibular ⇒ UEPG Polinômios Tópico resolvido

UEPG Polinômios

Re: UEPG Polinômios

Re: UEPG Polinômios

Pré-Vestibular ⇒ UEPG Polinômios Tópico resolvido

UEPG Polinômios

Re: UEPG Polinômios

Re: UEPG Polinômios

Entrar • Registrar