01. P(x) é divisível por x –1.
02. Todas as raízes de P(x) são reais.
04. A soma das raízes de P(x) é 0.
08. P(x) tem uma raiz dupla.
16. O produto das raízes de P(x) é negativo.
Resposta
Gabarito: 29
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Pré-Vestibular ⇒ UEPG Polinômios Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
24
11:00
UEPG Polinômios
Seja P(x) um polinômio do 5º grau cujo coeficiente de x5 é 1. Sabendo P(0) = 2, P(–1) = 8 e que x3–3x+2 um fator de P(x), assinale o que for correto.
01. P(x) é divisível por x –1.
02. Todas as raízes de P(x) são reais.
04. A soma das raízes de P(x) é 0.
08. P(x) tem uma raiz dupla.
16. O produto das raízes de P(x) é negativo.
Gabarito: 29
01. P(x) é divisível por x –1.
02. Todas as raízes de P(x) são reais.
04. A soma das raízes de P(x) é 0.
08. P(x) tem uma raiz dupla.
16. O produto das raízes de P(x) é negativo.
Gabarito: 29
Editado pela última vez por Stanys em 24 Out 2021, 11:01, em um total de 1 vez.
-
Tassandro
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Out 2021
24
11:54
Re: UEPG Polinômios
Stanys,
Como [tex3]P(0)=2[/tex3] , o termo independente de nosso polinônio é 2. Como [tex3]x^3-3x+2=x(x^2-1)-2(x-1)=\\
x(x-1)(x+1)-2(x-1)=\\
(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x+2)(x-1)[/tex3]
é fator de P(x), então ganhamos duas raízes de nosso polinônio sendo elas [tex3]-2[/tex3] e [tex3]1[/tex3] , este último sendo raiz dupla.
Temos que [tex3]P(x)=(x-1)^2(x+2)(x^2+ax+b)[/tex3]
Como [tex3]P(0)=2[/tex3] , temos que
[tex3]2=2b\implies b=1[/tex3]
Como [tex3]P(-1)=8[/tex3]
[tex3]8=4\cdot 1\cdot (2-a)\implies a=0[/tex3]
Logo,
[tex3]P(x)=(x-1)^2(x+2)(x^2+1)[/tex3]
Raízes: 1, 1, -2, [tex3]\pm i[/tex3]
01. Verdade
02. Falso
04. Verdade
08. Verdade
16. Verdade
Soma: 1+4+8+16=29
Como [tex3]P(0)=2[/tex3] , o termo independente de nosso polinônio é 2. Como [tex3]x^3-3x+2=x(x^2-1)-2(x-1)=\\
x(x-1)(x+1)-2(x-1)=\\
(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x+2)(x-1)[/tex3]
é fator de P(x), então ganhamos duas raízes de nosso polinônio sendo elas [tex3]-2[/tex3] e [tex3]1[/tex3] , este último sendo raiz dupla.
Temos que [tex3]P(x)=(x-1)^2(x+2)(x^2+ax+b)[/tex3]
Como [tex3]P(0)=2[/tex3] , temos que
[tex3]2=2b\implies b=1[/tex3]
Como [tex3]P(-1)=8[/tex3]
[tex3]8=4\cdot 1\cdot (2-a)\implies a=0[/tex3]
Logo,
[tex3]P(x)=(x-1)^2(x+2)(x^2+1)[/tex3]
Raízes: 1, 1, -2, [tex3]\pm i[/tex3]
01. Verdade
02. Falso
04. Verdade
08. Verdade
16. Verdade
Soma: 1+4+8+16=29
Editado pela última vez por Tassandro em 24 Out 2021, 11:55, em um total de 1 vez.
Dias de luta, dias de glória.
-
PeterPark
- Mensagens: 141
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- Agradeceu: 22 vezes
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Out 2021
24
12:42
Re: UEPG Polinômios
Eu já havia escrito uma solução, então para não desperdiçar, vou deixar como complemento, um método diferente.
1- Definição do polinomio de 5º grau:
P(x) = [tex3]x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f[/tex3]
2- [tex3](x^3-3x+2)[/tex3] é fator de P(x):
P(x)=[tex3](x^3-3x+2)(mx^2+nx+t) = \mathbf{mx^5+nx^4+(t-3m)x^3+(2m-3n)x^2+(2n-3t)x+2t}[/tex3]
Pela definição do polinômio (1), sabemos que m=1:
P(x) = [tex3]x^5+nx^4+(t-3)x^3+(2-3n)x^2+(2n-3t)x+2t[/tex3]
3- Falta descobrir duas variaveis: t e n.
Para isso, o exercicio nos dá dois pontos: (0, 2) e (-1, 8 )
Assim formamos um sistema:
[tex3]\begin{cases} 0^5+n\cdot 0^4+(t-3)\cdot 0^3+(2-3n)\cdot 0^2+(2n-3t)\cdot 0+2t=2 ~~~~~~~~~~~~~\rightarrow 2t==2~~~~~~~~~\rightarrow t=1 \\
-1+n+(1-3)\cdot (-1)+(2-3n)+(2n-3)\cdot (-1)+2=8 ~~~~~~EQ.1
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo EQ.1:
[tex3]-1+n+2+2-3n-2n+3+2=8 \\ -4n+8=8 ~~~~\rightarrow n=0[/tex3]
4- Definindo P(x):
P(x) = [tex3]x^5+nx^4+(t-3)x^3+(2-3n)x^2+(2n-3t)x+2t[/tex3]
P(x) = [tex3]x^5-2x^3+2x^2+-3x+2[/tex3]
Definindo P(x) pela fatoração com [tex3](x^3-3x+2)[/tex3] :
[tex3]P(x)=(x^3-3x+2)(mx^2+nx+t) \\\ \\ P(x)=(x^3-3x+2)(x^2+1) [/tex3]
5- P(x) é divisivel por (x-1)?
Basta verificar se x-1=0 --> x=1 é raiz da função
[tex3]P(x)=(1^3-3+2)(1^2+1) = 0 [/tex3] -- Sim, é divisivel. (x-1) é fator de [tex3]x^3-3x+2[/tex3]
6-Todas as raizes são reais?
Podemos definir as raizes, antes vamos fatorar [tex3](x^3-3x+2) \\ = (x-1)(ax^2+bx+c) =\\\ \\=ax^3+(b-a)x^2 +(c-b)x-c [/tex3]
É possivel verificar que a=1, (b-a)=0 -> b=1, e (c-b)=-3 --> c=-2, de modo que:
P(x) = [tex3](x-1)(x^2+x-2)(x^2+1)[/tex3]
Para encontrar as raízes, iguala-se a zero cada uma das equações:
(x-1) = 0 -->x=1
[tex3](x^2+x-2)[/tex3] = 0 --> x=-2 ou x=1
[tex3](x^2+1)=0[/tex3] ---> x=i não tem raiz REAL (a função tem uma raiz irracional)
Raízes n são todas reais.
6- A soma das raízes é 0. x=1 é raiz dupla.
1- Definição do polinomio de 5º grau:
P(x) = [tex3]x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f[/tex3]
2- [tex3](x^3-3x+2)[/tex3] é fator de P(x):
P(x)=[tex3](x^3-3x+2)(mx^2+nx+t) = \mathbf{mx^5+nx^4+(t-3m)x^3+(2m-3n)x^2+(2n-3t)x+2t}[/tex3]
Pela definição do polinômio (1), sabemos que m=1:
P(x) = [tex3]x^5+nx^4+(t-3)x^3+(2-3n)x^2+(2n-3t)x+2t[/tex3]
3- Falta descobrir duas variaveis: t e n.
Para isso, o exercicio nos dá dois pontos: (0, 2) e (-1, 8 )
Assim formamos um sistema:
[tex3]\begin{cases} 0^5+n\cdot 0^4+(t-3)\cdot 0^3+(2-3n)\cdot 0^2+(2n-3t)\cdot 0+2t=2 ~~~~~~~~~~~~~\rightarrow 2t==2~~~~~~~~~\rightarrow t=1 \\
-1+n+(1-3)\cdot (-1)+(2-3n)+(2n-3)\cdot (-1)+2=8 ~~~~~~EQ.1
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo EQ.1:
[tex3]-1+n+2+2-3n-2n+3+2=8 \\ -4n+8=8 ~~~~\rightarrow n=0[/tex3]
4- Definindo P(x):
P(x) = [tex3]x^5+nx^4+(t-3)x^3+(2-3n)x^2+(2n-3t)x+2t[/tex3]
P(x) = [tex3]x^5-2x^3+2x^2+-3x+2[/tex3]
Definindo P(x) pela fatoração com [tex3](x^3-3x+2)[/tex3] :
[tex3]P(x)=(x^3-3x+2)(mx^2+nx+t) \\\ \\ P(x)=(x^3-3x+2)(x^2+1) [/tex3]
5- P(x) é divisivel por (x-1)?
Basta verificar se x-1=0 --> x=1 é raiz da função
[tex3]P(x)=(1^3-3+2)(1^2+1) = 0 [/tex3] -- Sim, é divisivel. (x-1) é fator de [tex3]x^3-3x+2[/tex3]
6-Todas as raizes são reais?
Podemos definir as raizes, antes vamos fatorar [tex3](x^3-3x+2) \\ = (x-1)(ax^2+bx+c) =\\\ \\=ax^3+(b-a)x^2 +(c-b)x-c [/tex3]
É possivel verificar que a=1, (b-a)=0 -> b=1, e (c-b)=-3 --> c=-2, de modo que:
P(x) = [tex3](x-1)(x^2+x-2)(x^2+1)[/tex3]
Para encontrar as raízes, iguala-se a zero cada uma das equações:
(x-1) = 0 -->x=1
[tex3](x^2+x-2)[/tex3] = 0 --> x=-2 ou x=1
[tex3](x^2+1)=0[/tex3] ---> x=i não tem raiz REAL (a função tem uma raiz irracional)
Raízes n são todas reais.
6- A soma das raízes é 0. x=1 é raiz dupla.
Editado pela última vez por PeterPark em 24 Out 2021, 12:47, em um total de 2 vezes.
Either you die as a programmer, or live long enough to become a scammer. 
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