Seja [tex3]r_n[/tex3]
o raio da circunferência [tex3]C_n[/tex3]
. Vamos estudar como o raio varia. Pela construção descrita, temos:
- LP-Heitor.png (39.14 KiB) Exibido 630 vezes
Vamos utilizar os seguintes:
- O raio de uma circunferência inscrita e o ponto que ela intercepta o quadrado formando um ângulo reto.
- O raio de uma circunferência inscrita a um quadrado é igual a metade do lado do quadrado.
- O ponto de intersecção é o ponto médio do lado.
Utilizando Pitágoras:
[tex3]r_{n-1}^2=\overline{AC}^2+r_n^2[/tex3]
Utilizando os fatos, temos que [tex3]\overline{AC}=r_n[/tex3]
. Logo:
[tex3]r_{n-1}^2=r_n^2+r_n^2[/tex3]
[tex3]r_{n-1}^2=2r_n^2[/tex3]
[tex3]r_{n-1}=r_n\sqrt2[/tex3]
[tex3]r_{n}={r_{n-1}\over\sqrt2}[/tex3]
Ou seja, os raio das circunferências forma uma P.G. Sabemos que o termo geral de uma P.G. é dado por:
[tex3]r_n=r_1\cdot q^{n-1}[/tex3]
Sabemos que a circunferência [tex3]C_1[/tex3]
está inscrita num quadrado de lado [tex3]2[/tex3]
. Utilizando o segundo fato, temos que [tex3]r_1=1[/tex3]
. Como [tex3]q={1\over\sqrt2}[/tex3]
, temos [tex3]r_n=\({1\over\sqrt2}\)^{n-1}[/tex3]
.
Vamos então achar [tex3]S_n[/tex3]
. Pelo definição do enunciado, temos:
[tex3]S_n=A_{2n-1}-A_{2n}[/tex3]
, onde [tex3]A_n[/tex3]
é a área da n-ésima circunferência.
Temos:
[tex3]S_n=\pi r_{2n-1}^2-\pi r_{2n}^2[/tex3]
Queremos a soma de todos os [tex3]S_n[/tex3]
, então:
[tex3]S=S_1+S_2+S_3+...[/tex3]
[tex3]S=\(\pi r_{1}^2-\pi r_{2}^2\)+\(\pi r_{3}^2-\pi r_{4}^2\)+\(\pi r_{5}^2-\pi r_{6}^2\)+...[/tex3]
[tex3]S=\(\pi r_{1}^2+\pi r_{3}^2+\pi r_{5}^2+...\)-\(\pi r_{2}^2+\pi r_{4}^2+\pi r_{6}^2+...\)[/tex3]
[tex3]S=\(\pi \[1\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{2}\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{4}\]^2+...\)-\(\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{1}\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{3}\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{5}\]^2+...\)[/tex3]
[tex3]S=\(\pi+\pi\[1\over4\]+\pi \[1\over16\]+...\)-\(\pi \[1\over2\]+\pi \[1\over 8\]+\pi \[1\over32\]+...\)[/tex3]
Podemos ver que ambas as somas são somas infinitas de P.G com razão menor que 1. Portanto, podemos aplicar a fórmula:
[tex3]a+ab+ab^2+...={a\over 1-b}, ~~~~~|b|<1[/tex3]
Logo:
[tex3]S={\pi\over 1-{1\over 4}}-{\pi \[1\over2\]\over 1-{1\over 4}}[/tex3]
[tex3]S=\pi\[{4\over 3}-{2\over 3}\][/tex3]
[tex3]S={2\pi\over 3}[/tex3]
)
