Pré-Vestibular ⇒ (IBMEC-SP-2003) - Limite de uma P.G Tópico resolvido

[Heitooor]

Considere uma circunferência (C1) inscrita em um quadrado de lado 2. Dentro de C1 inscreva outro quadrado, com os lados paralelos ao maior, e dentro desse quadrado inscreva outra circunferência (C2), como na figura abaixo.

Seja S1 a medida da área compreendida entre C1 e C2 e repita a mesma construção dentro de C2 , obtendo S2 a medida da área compreendida entre C3 e C4 e assim sucessivamente, como na figura abaixo.

Se Sn é a medida da área compreendida entre C2n−1 e C2n, determine o limite da soma: S = S1 +S2 + S3 + ⋯ + Sn + ⋯

Resposta

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Resposta: 2π/3

[AnthonyC]

Seja [tex3]r_n[/tex3] o raio da circunferência [tex3]C_n[/tex3]. Vamos estudar como o raio varia. Pela construção descrita, temos:

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Vamos utilizar os seguintes:

• O raio de uma circunferência inscrita e o ponto que ela intercepta o quadrado formando um ângulo reto.
• O raio de uma circunferência inscrita a um quadrado é igual a metade do lado do quadrado.
• O ponto de intersecção é o ponto médio do lado.

Utilizando Pitágoras:
[tex3]r_{n-1}^2=\overline{AC}^2+r_n^2[/tex3]
Utilizando os fatos, temos que [tex3]\overline{AC}=r_n[/tex3]. Logo:
[tex3]r_{n-1}^2=r_n^2+r_n^2[/tex3]
[tex3]r_{n-1}^2=2r_n^2[/tex3]
[tex3]r_{n-1}=r_n\sqrt2[/tex3]
[tex3]r_{n}={r_{n-1}\over\sqrt2}[/tex3]
Ou seja, os raio das circunferências forma uma P.G. Sabemos que o termo geral de uma P.G. é dado por:
[tex3]r_n=r_1\cdot q^{n-1}[/tex3]
Sabemos que a circunferência [tex3]C_1[/tex3] está inscrita num quadrado de lado [tex3]2[/tex3]. Utilizando o segundo fato, temos que [tex3]r_1=1[/tex3]. Como [tex3]q={1\over\sqrt2}[/tex3], temos [tex3]r_n=\({1\over\sqrt2}\)^{n-1}[/tex3].

Vamos então achar [tex3]S_n[/tex3]. Pelo definição do enunciado, temos:
[tex3]S_n=A_{2n-1}-A_{2n}[/tex3]
, onde [tex3]A_n[/tex3] é a área da n-ésima circunferência.

Temos:
[tex3]S_n=\pi r_{2n-1}^2-\pi r_{2n}^2[/tex3]
Queremos a soma de todos os [tex3]S_n[/tex3], então:
[tex3]S=S_1+S_2+S_3+...[/tex3]
[tex3]S=\(\pi r_{1}^2-\pi r_{2}^2\)+\(\pi r_{3}^2-\pi r_{4}^2\)+\(\pi r_{5}^2-\pi r_{6}^2\)+...[/tex3]
[tex3]S=\(\pi r_{1}^2+\pi r_{3}^2+\pi r_{5}^2+...\)-\(\pi r_{2}^2+\pi r_{4}^2+\pi r_{6}^2+...\)[/tex3]
[tex3]S=\(\pi \[1\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{2}\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{4}\]^2+...\)-\(\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{1}\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{3}\]^2+\pi \[\({1\over\sqrt2}\)^{5}\]^2+...\)[/tex3]
[tex3]S=\(\pi+\pi\[1\over4\]+\pi \[1\over16\]+...\)-\(\pi \[1\over2\]+\pi \[1\over 8\]+\pi \[1\over32\]+...\)[/tex3]
Podemos ver que ambas as somas são somas infinitas de P.G com razão menor que 1. Portanto, podemos aplicar a fórmula:
[tex3]a+ab+ab^2+...={a\over 1-b}, ~~~~~|b|<1[/tex3]
Logo:
[tex3]S={\pi\over 1-{1\over 4}}-{\pi \[1\over2\]\over 1-{1\over 4}}[/tex3]
[tex3]S=\pi\[{4\over 3}-{2\over 3}\][/tex3]
[tex3]S={2\pi\over 3}[/tex3]