Ensino Médio ⇒ Aref - Lugar geométrico Tópico resolvido

[Gagázeiro]

Determine a equação do lugar geométrico dos centros das circunferências que passam pelo ponto A(-2,0) e são tangentes à reta de equação x-y=0. Que figura representa a equação obtida?

Resposta

---

x^2+y^2-2xy+8x+8=0

[joaopcarv]

Sejam [tex3]\mathsf{C \ = \ (x_c, \ y_c)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{C \ = \ (x_c, \ y_c)}[/tex3]

os centros dessas circunferências.

Sendo essas cirunferências tangentes à reta [tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3]

, elas possuem exatamente um ponto na forma [tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3]

, e, além disso, a reta que conecta esse ponto de tangência [tex3]\mathsf{T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T}[/tex3]

ao centro é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3]

.

[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3]

é ponto de tangência entre a ciruncferência e a reta.

Temos que [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3]

Substituindo [tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]

[joaopcarv]

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[Gagázeiro]

Sejam [tex3]\mathsf{C \ = \ (x_c, \ y_c)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{C \ = \ (x_c, \ y_c)}[/tex3]

os centros dessas circunferências.

Sendo essas cirunferências tangentes à reta [tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3]

, elas possuem exatamente um ponto na forma [tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3]

, e, além disso, a reta que conecta esse ponto de tangência [tex3]\mathsf{T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T}[/tex3]

ao centro é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3]

.

[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3]

é ponto de tangência entre a ciruncferência e a reta.

Temos que [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3]

Substituindo [tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]

Obrigado, mas só pra confirmar, o ponto T é o ponto de tangência entre cada circunferência e a reta y=x? Logo T tem coordenadas (x;x)? Poderia ser (y;y) também?

[joaopcarv]

Gagázeiro, sim, isso mesmo.