|log(base=16) de (1-x^2) - log(base =4) de (1+x)|<1/2
Fiz a condição de existência e cheguei que -1<x<1 emperrei ai.
Resposta
-3/5<x<3/5
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Desigualdades Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
13
20:21
(FUVEST) Desigualdades
Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade.
|log(base=16) de (1-x^2) - log(base =4) de (1+x)|<1/2
Fiz a condição de existência e cheguei que -1<x<1 emperrei ai.
-3/5<x<3/5
|log(base=16) de (1-x^2) - log(base =4) de (1+x)|<1/2
Fiz a condição de existência e cheguei que -1<x<1 emperrei ai.
-3/5<x<3/5
Editado pela última vez por ALDRIN em 14 Out 2021, 14:12, em um total de 1 vez.
Out 2021
13
21:51
Re: (FUVEST) Desigualdades
[tex3]|\log_{16}(1-x^2)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{16}(1-x)(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Lembrando de uma regra de logaritmos:
[tex3]\log_{(B^K)}A^P=\frac{P}{K}.\log_{B}A[/tex3]
Fazendo isso com [tex3]\log_{16}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{16}(1+x)^1[/tex3] , reescrevendo como:
[tex3]\log_{4^2}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{4^2}(1+x)^1[/tex3] , assim temos:
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{4^2}(1-x)^1+\log_{4^2}(1+x)^1-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)+\frac{1}{2}.\log_{4}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)-\frac{1}{2}\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]|<\frac{1}{2}[/tex3]
Estando em módulo, então a equação vai ter 2 valores possíveis:
I) [tex3]\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
ou
II) [tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
Resolvendo a I:
[tex3]\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)<1[/tex3]
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}<1[/tex3]
Lembrar que [tex3]\log_b a = x[/tex3] significa que [tex3]b^x=a[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]4^1>\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]4(1+x)>(1-x)[/tex3]
[tex3]4+4x>1-x[/tex3]
[tex3]5x>-3[/tex3]
[tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3]
Resolvendo a II equação:
[tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<1[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}]<1[/tex3] -> multiplicando por (-1) troca o sentido da seta
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}>-1[/tex3]
Isso implica que:
[tex3]4^{-1}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3](1+x)<4(1-x)[/tex3]
[tex3]1+x<4-4x[/tex3]
[tex3]5x<3[/tex3]
[tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3]
Assim vc fica com [tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3] e [tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3] , o que implica que:
[tex3]-\frac{3}{5}{<}x<\frac{3}{5}[/tex3]
Se alguma parte ficou confusa é só falar que vou tentar esclarecer
[tex3]|\log_{16}(1-x)(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Lembrando de uma regra de logaritmos:
[tex3]\log_{(B^K)}A^P=\frac{P}{K}.\log_{B}A[/tex3]
Fazendo isso com [tex3]\log_{16}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{16}(1+x)^1[/tex3] , reescrevendo como:
[tex3]\log_{4^2}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{4^2}(1+x)^1[/tex3] , assim temos:
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{4^2}(1-x)^1+\log_{4^2}(1+x)^1-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)+\frac{1}{2}.\log_{4}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)-\frac{1}{2}\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]|<\frac{1}{2}[/tex3]
Estando em módulo, então a equação vai ter 2 valores possíveis:
I) [tex3]\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
ou
II) [tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
Resolvendo a I:
[tex3]\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)<1[/tex3]
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}<1[/tex3]
Lembrar que [tex3]\log_b a = x[/tex3] significa que [tex3]b^x=a[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]4^1>\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]4(1+x)>(1-x)[/tex3]
[tex3]4+4x>1-x[/tex3]
[tex3]5x>-3[/tex3]
[tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3]
Resolvendo a II equação:
[tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<1[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}]<1[/tex3] -> multiplicando por (-1) troca o sentido da seta
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}>-1[/tex3]
Isso implica que:
[tex3]4^{-1}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3](1+x)<4(1-x)[/tex3]
[tex3]1+x<4-4x[/tex3]
[tex3]5x<3[/tex3]
[tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3]
Assim vc fica com [tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3] e [tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3] , o que implica que:
[tex3]-\frac{3}{5}{<}x<\frac{3}{5}[/tex3]
Se alguma parte ficou confusa é só falar que vou tentar esclarecer
Os melhores momentos dá vida acontecem no inesperado, no ocasional, nos momentos em que não esperamos que aconteçam.
Paulo Cuba
Paulo Cuba
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