|log(base=16) de (1-x^2) - log(base =4) de (1+x)|<1/2
Fiz a condição de existência e cheguei que -1<x<1 emperrei ai.
Resposta
-3/5<x<3/5
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Desigualdades Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
13
20:21
(FUVEST) Desigualdades
Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade.
|log(base=16) de (1-x^2) - log(base =4) de (1+x)|<1/2
Fiz a condição de existência e cheguei que -1<x<1 emperrei ai.
-3/5<x<3/5
|log(base=16) de (1-x^2) - log(base =4) de (1+x)|<1/2
Fiz a condição de existência e cheguei que -1<x<1 emperrei ai.
-3/5<x<3/5
Última edição: ALDRIN (Qui 14 Out, 2021 14:12). Total de 1 vez.
Out 2021
13
21:51
Re: (FUVEST) Desigualdades
[tex3]|\log_{16}(1-x^2)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{16}(1-x)(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Lembrando de uma regra de logaritmos:
[tex3]\log_{(B^K)}A^P=\frac{P}{K}.\log_{B}A[/tex3]
Fazendo isso com [tex3]\log_{16}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{16}(1+x)^1[/tex3] , reescrevendo como:
[tex3]\log_{4^2}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{4^2}(1+x)^1[/tex3] , assim temos:
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{4^2}(1-x)^1+\log_{4^2}(1+x)^1-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)+\frac{1}{2}.\log_{4}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)-\frac{1}{2}\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]|<\frac{1}{2}[/tex3]
Estando em módulo, então a equação vai ter 2 valores possíveis:
I) [tex3]\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
ou
II) [tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
Resolvendo a I:
[tex3]\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)<1[/tex3]
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}<1[/tex3]
Lembrar que [tex3]\log_b a = x[/tex3] significa que [tex3]b^x=a[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]4^1>\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]4(1+x)>(1-x)[/tex3]
[tex3]4+4x>1-x[/tex3]
[tex3]5x>-3[/tex3]
[tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3]
Resolvendo a II equação:
[tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<1[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}]<1[/tex3] -> multiplicando por (-1) troca o sentido da seta
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}>-1[/tex3]
Isso implica que:
[tex3]4^{-1}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3](1+x)<4(1-x)[/tex3]
[tex3]1+x<4-4x[/tex3]
[tex3]5x<3[/tex3]
[tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3]
Assim vc fica com [tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3] e [tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3] , o que implica que:
[tex3]-\frac{3}{5}{<}x<\frac{3}{5}[/tex3]
Se alguma parte ficou confusa é só falar que vou tentar esclarecer
[tex3]|\log_{16}(1-x)(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Lembrando de uma regra de logaritmos:
[tex3]\log_{(B^K)}A^P=\frac{P}{K}.\log_{B}A[/tex3]
Fazendo isso com [tex3]\log_{16}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{16}(1+x)^1[/tex3] , reescrevendo como:
[tex3]\log_{4^2}(1-x)^1[/tex3] e [tex3]\log_{4^2}(1+x)^1[/tex3] , assim temos:
[tex3]|\log_{16}(1-x)+\log_{16}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\log_{4^2}(1-x)^1+\log_{4^2}(1+x)^1-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)+\frac{1}{2}.\log_{4}(1+x)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]|\frac{1}{2}.\log_{4}(1-x)-\frac{1}{2}\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]|\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]|<\frac{1}{2}[/tex3]
Estando em módulo, então a equação vai ter 2 valores possíveis:
I) [tex3]\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
ou
II) [tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
Resolvendo a I:
[tex3]\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)<1[/tex3]
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}<1[/tex3]
Lembrar que [tex3]\log_b a = x[/tex3] significa que [tex3]b^x=a[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]4^1>\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]4(1+x)>(1-x)[/tex3]
[tex3]4+4x>1-x[/tex3]
[tex3]5x>-3[/tex3]
[tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3]
Resolvendo a II equação:
[tex3]-\frac{1}{2}.[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}(1-x)-\log_4(1+x)]<1[/tex3]
[tex3]-[\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}]<1[/tex3] -> multiplicando por (-1) troca o sentido da seta
[tex3]\log_{4}\frac{(1-x)}{(1+x)}>-1[/tex3]
Isso implica que:
[tex3]4^{-1}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4}<\frac{(1-x)}{(1+x)}[/tex3]
[tex3](1+x)<4(1-x)[/tex3]
[tex3]1+x<4-4x[/tex3]
[tex3]5x<3[/tex3]
[tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3]
Assim vc fica com [tex3]x>\frac{-3}{5}[/tex3] e [tex3]x<\frac{3}{5}[/tex3] , o que implica que:
[tex3]-\frac{3}{5}{<}x<\frac{3}{5}[/tex3]
Se alguma parte ficou confusa é só falar que vou tentar esclarecer
Os melhores momentos dá vida acontecem no inesperado, no ocasional, nos momentos em que não esperamos que aconteçam.
Paulo Cuba
Paulo Cuba
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